Функторный морфизм

Есте́ственное преобразова́ние (функторный морфизм) — одно из основных понятий теории категорий.

Если S и T — ковариантные функторы из категории $\mathbf{Cat}_1$ в $\mathbf{Cat}_2$, то отображение, при котором каждому объекту C категории $\mathbf{Cat}_1$ соответствует морфизм $h(C)\colon S(C) \to T(C)$ категории $\mathbf{Cat}_2$, причём для любого морфизма $f\colon C \to C'$ категории $\mathbf{Cat}_1$ диаграмма, изображённая на рисунке ниже, коммутативна, называется естественным преобразованием $h\colon S\to T$. В случае контравариантных функторов S и T определение аналогично (необходимо только обратить стрелки).

Примеры

Пример естественного преобразования

Примером естественного преобразования может служить определитель. В самом деле пусть R — коммутативное кольцо, тогда квадратные матрицы порядка n над R образуют моноид по умножению, а R' — мультипликативный моноид самого кольца R. Пусть $\mathbf{Mat}_n(R)$ будет функтором, переводящим кольцо R в моноид матриц над ним. Поскольку определитель выражается через умножение, сложение и вычитание, которые сохраняются (что означает перестановочность морфизма и этих операций) морфизмами кольца R, то отображение $\mathbf{Mat}_n(R)\rightarrow \det(\mathbf{Mat}_n(R))$ будет естественным преобразованием между функтором $\mathbf{Mat}_n(R)$ и функтором, тождественно сопоставляющим каждому кольцу R его мультипликативный моноид (оба функтора из категории $\mathbf{CRing}$ коммутативных колец в категорию моноидов $\mathbf{Mon}$).

Пример «неестественного» преобразования

Приведём пример преобразования, не являющегося естественным. Пусть V — n-мерное векторное пространство над полем $\Bbb F$. $e_1,e_2,\dots,e_n$ — его базис, $e^1,e^2,\dots,e^n$ — базис сопряжённого пространства функционалов D(V), такой что

$e^i(e_j) = \delta^i_j$

где $\delta^i_j$ — символ Кронекера. Все n-мерные пространства изоморфны. Положим

k(e_i) = eⁱ

и распространим k линейно на всё пространство V. k отображает тождественный (очевидно ковариантный) функтор I в контравариантный функтор D, отображающий векторное пространство в сопряжённое пространство функционалов. Если мы возьмём категорию конечномерных векторных пространств, где морфизмами будут изоморфизмы f (а не любые линейные отображения), то можно заменить контравариантный функтор D ковариантным функтором D' (где D'(V) = D(V), D'(f) = D(f ^{− 1})). Преобразование $k\colon V \to D(V)$ не будет естественным даже в простейшем случае одномерного пространства над полем действительных чисел. В самом деле, пусть V одномерно и изоморфизм $f\colon V\to V$ является умножением на 2:

f(e₁) = 2e₁

Тогда $D'(f)(k(e_1)) = {1 \over 2}e_1$, в то время как k(f(e₁)) = 2e¹, то есть диаграмма некоммутативна.

Причина этого совершенно ясна — k определяется совершенно случайно выбранным базисом. Если мы возьмём второе сопряжённое пространство D(D(V)), то в случае конечномерного пространства существует изоморфизм $h\colon V \to D(D(V))$ (а именно h(x)(f) = f(x) для любого $x\in V$ и функционала $f\in D(V)$). В данном случае изоморфизм h определяет естественное преобразование тождественного функтора I в функтор D².

Полиморфные функции

Другой важнейший пример естественных преобразований — полиморфные функции (имеется в виду параметрический полиморфизм). Примером такого преобразования является функция reverse :: forall a . [a] -> [a], переворачивающая список элементов произвольного типа. В данном случае h(T) — это reverse_T :: [T] -> [T]; а функторы F и G — это List.

Сформулировать этот факт можно так: forall f :: a -> b : map f . reverse_a = reverse_b . map f. Это — одна из так называемых «бесплатных теорем».

Естественность всех параметрически полиморфных функций — это следствие теоремы Рейнольдса.

Литература

• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии — М.: Мир, 1976.
• Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1966.
• Маклейн С. Категории для работающего математика — М.: Физматлит, 2004.
• Wadler, Philip — Theorems for free!