- Струя (математика)
-
Струя отображения
на многообразии
— это операция, сопоставляющая каждой точке
из
некоторый многочлен (урезанный многочлен Тейлора
в точке
). С точки зрения теории струй эти многочлены рассматриваются не как полиномиальные функции, а как абстрактные алгебраические многочлены, зависящие от точки многообразия.
Содержание
Струи на евклидовом пространстве
Аналитическое определение
Струи и пространства струй могут быть определены, используя принципы математического анализа. Определение можно обобщить на гладкие отображения между банаховыми пространствами, аналитическими функциями в вещественной или комплексной области, на
-адический анализ и т. п.
Пусть
— векторное пространство гладких отображений
. Пусть
— неотрицательное целое число,
— точка в
. Определим класс эквивалентности
в этом пространстве следующим образом: две функции
и
эквивалентны порядка
, если они имеют равное значение в точке
и все их частные производные до
-го порядка включительно совпадают в этой точке.
Пространство
-струй (струй
-го порядка) на
в точке
— это множество классов эквивалентности
; обозначается как
.
-струя гладкого отображения
в точке
— это класс эквивалентности в
, содержащий
.
Алгебро-геометрическое определение
Это определение основано на идеях алгебраической геометрии и коммутативной алгебры. Пусть
— векторное пространство ростков гладких отображений
в точке
. Пусть
— идеал отображений, равных нулю в точке
(это максимальный идеал локального кольца
), а
— идеал, состоящий из ростков всех отображений, равных нулю в точке
с точностью до
-го порядка. Определим пространство струй в точке
как
Если
— гладкое отображение, то можно определить
-струю
в точке
как элемент
, для которого
Теорема Тейлора
Независимо от определения, теорема Тейлора устанавливает канонический изоморфизм между векторными пространствами
и
, поэтому струи функций на евклидовом пространстве зачастую отождествляются с соответствующими многочленами Тейлора.
Пространство струй из точки в точку
Мы определили пространство
струй в точке
. Подпространство, содержащее те струи отображения
, для которых
, обозначается
Струи сечений гладкого расслоения
Пусть
— гладкое расслоение. Струёй
-го порядка
его сечений
называется класс эквивалентности этих сечений, отождествляемых, если их значения и значения их частных производных до
-го порядка в точке
совпадают. Струи
-го порядка образуют гладкое многообразие
, называемое многообразием струй.
Теория связностей, теория дифференциальных операторов и лагранжева теория на гладких расслоениях (в том числе классическая теория поля) формулируются в терминах многообразий струй
.
Литература
- Виноградов А., Красильщик И., Лычагин В. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1986.
- Saunders D. The geometry of jet bundles. — Cambridge: Cambridge Univ. Press., 1989.
- Сарданашвили Г. А. Современные методы теории поля. 1. Геометрия и классические поля. — М.: УРСС, 1996. — 224 с. — ISBN 5-88417-087-4.
- Sardanashvily, G., Fibre bundles, jet manifolds and Lagrangian theory. Lectures for theoreticians,arXiv: 0908.1886
Категории:- Дифференциальная геометрия и топология
- Функции
- Алгебраическая геометрия
- Теория сингулярностей
Wikimedia Foundation. 2010.