Сходимость по Чезаро

Сходимость по Чезаро — обобщение понятия сходимости числовых и функциональных рядов, введённое итальянским математиком Эрнесто Чезаро^[1]. Фактически существует целое семейство определений, зависящих от параметра k. Сначала сходимость была определена Чезаро для целых положительных значений параметра k и применена ко множеству рядов. Позднее понятие сходимости по Чезаро было расширено на произвольные значения k в том числе и на комплексные. Методы нахождения суммы по Чезаро имеют многочисленные приложения: при умножении рядов, в теории рядов Фурье и других вопросах.

Определение

Ряд $\sum_{n=1}^\infty a_n$ называется сходящимся по Чезаро порядка k или (C, k)-сходящимся с суммой S, если:

$\lim_{n\to\infty}\frac{A_n^k}{E_n^k} = S$

где $A_n, E_n$ определяются как коэффициенты разложения:

$\sum_{n=0}^\infty A_n^\alpha x^n=\frac{\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty a_nx^n}}{(1-x)^{1+\alpha}},$

$\sum_{n=0}^\infty E_n^\alpha x^n=(1-x)^{-1-\alpha},$

Свойства

При k = 0 сходимость по Чезаро является обычной сходимостью ряда, при k = 1 ряд является сходящимся с суммой S, если $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n s_j = S,$ де $s_j = a_1 + \cdots + a_j$ — частичные суммы ряда.

Методы (C, k) нахождения суммы ряда являются полностью регулярными при $k \geq 0$ и не являются регулярными при $k < 0$. Сила метода возрастает с увеличением k: если ряд является сходящимся для k, то он является сходящимся с той же суммой для k^' при k^' > k > −1.

При k <-1 это свойство не сохраняется.

Если ряд $\sum_{n=1}^\infty a_n$ является (C, k)-сходящимся, то $a_n = o(n^k)\,$.

Сходимость по Чезаро (C, k) равносильна и совместима со сходимостью Гельдера (H, k) и Рисса (R, n, k) (k >0). При любом k > −1 метод (C, k) слабее метода Абеля.

Пример

Пусть a_n = (-1)ⁿ⁺¹ для n ≥ 1. То есть, {a_n} является последовательностью

$1, -1, 1, -1, \ldots.\,$

Последовательность частичных сумм {s_n} имеет вид:

$1, 0, 1, 0, \ldots,\,$

и очевидно, что данный ряд не сходится в привычном понимании. Зато членами последовательности {(s₁ + … + s_n)/n} являются

$\frac{1}{1}, \,\frac{1}{2}, \,\frac{2}{3}, \,\frac{2}{4}, \,\frac{3}{5}, \,\frac{3}{6}, \,\frac{4}{7}, \,\frac{4}{8}, \,\ldots,$

и в общей сложности

$\lim_{n\to\infty} \frac{s_1 + \cdots + s_n}{n} = 1/2.$

Поэтому ряд $\sum_{n=1}^\infty a_n$ является сходящимся по Чезаро с параметром 1 и его сумма равна 1/2.

См. также

• Сходимость по Борелю
• 1 − 2 + 3 − 4 + …
• Чезаровское среднее

Примечания

1. ↑ Сеsarо E., «Bull. sci. math.», 1890, t. 14, № 1, p. 114—20;

Ссылки

• Сходимость по Чезаро (англ.) на сайте PlanetMath.

Литература

• Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. Том 5 — М.: Наука, 1985
• Барон С. А., Введение в теорию суммируемости рядов, 2 изд., Таллин, 1977.
• Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т.1, М., 1965;
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. — Изд. 6-является, стереотипное. — М.: Наука, 1966
• Xapди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951;
• Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Borel’s Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford UP, ISBN 0-19-853585-6 .