Нули дзета-функции Римана

Нули дзета-функции Римана
Задачи тысячелетия
Равенство классов P и NP
Гипотеза Ходжа
Гипотеза Пуанкаре
Гипотеза Римана
Квантовая теория Янга — Миллса
Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса
Гипотеза Берча и Свиннертона — Дайера

Гипо́теза Ри́мана о распределении нулей дзета-функции Римана была сформулирована Бернхардом Риманом в 1859 году.

Функция ζ(s) определена для всех комплексных s\ne 1, и имеет нули для отрицательных целых s=-2,-4,-6\dots. Из функционального уравнения \zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin{\pi s \over 2} \Gamma(1-s) \zeta(1-s), и явного выражения \frac1{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\mu(n)}{n^s} при \operatorname{Re}\,s>1 следует, что все остальные нули, называемые «нетривиальными», расположены в полосе 0\leqslant\operatorname{Re}\,s\leqslant1 симметрично относительно так называемой «критической линии» {1\over2}+i t,\; t\in\mathbb{R}. Гипотеза Римана утверждает, что:

Все нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть, равную {1\over2}

Обобщённая гипотеза Римана состоит из того же самого утверждения для обобщений дзета-функций, называемых L-функциями Дирихле.

На 2004 год проверены более 1013 первых нулей. [1]

Большинство математиков верят, что гипотеза верна. Многие утверждения о распределении простых чисел, в том числе о сложности некоторых целочисленных алгоритмов, доказаны в предположении верности гипотезы Римана. В то время как не существует простой закономерности, описывающей распределение простых чисел среди натуральных, Риман обнаружил, что число π(x) простых чисел, не превосходящих x, выражается через распределение нетривиальных нулей дзета-функции.

Гипотеза Римана входит в список семи «проблем тысячелетия», за решение каждой из которых Математический институт Клэя (Clay Mathematics Institute, Кембридж, Массачусетс) выплатит приз в 1 млн. долларов США. Интересно, что опровержение гипотезы Римана не даст права на получение приза.[1]

Содержание

История

В 1896 Адамар и Валле-Пуссен независимо доказали, что нули дзета-функции не могут лежать на прямых \operatorname{Re}\,s=0 и \operatorname{Re}\,s=1.

В 1900 Давид Гильберт включил гипотезу Римана в список 23 нерешённых проблем как часть восьмой проблемы, совместно с гипотезой Гольдбаха.

В 1914 Харди доказал, что на критической линии находится бесконечно много нулей, а позже Харди и Литлвуд дали оценку снизу доли нулей, лежащей на критической линии, которую потом улучшали разные математики.

Некоторые нетривиальные нули располагаются экстремально близко друг к другу. Это свойство известно как «явление Лемера (Lehmer)».

Титчмарш, Ворос в 1987 показали, что дзета-функция может быть разложена в произведение через свои нетривиальные нули в разложение Адамара.

Группа математиков Университета Пардье (Purdue University, USA) под руководством Луи де Бранжа (Louis De Branges de Bourcia) предложила доказательство гипотезы Римана [2], которое, однако, оказалось неверным [3].

Эквивалентные формулировки

В 1901 Хельге фон Кох показал, что гипотеза Римана эквивалентна следующему утверждению о распределении простых чисел:

\pi(x) = \int\limits_2^x\!\frac{dt}{\ln t} + O\left(\sqrt x\ln x\right) при x\rightarrow\infty

Интересные факты

Знаменит ответ Гильберта на вопрос о том, каковы будут его действия, если он по какой-либо причине проспит пятьсот лет и вдруг проснется. Математик ответил, что самым первым делом он спросит была ли доказана гипотеза Римана.

Примечания

Ссылки

См. также



Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Полезное


Смотреть что такое "Нули дзета-функции Римана" в других словарях:

  • Дзета-функция Римана — Запрос «Дзета функция» перенаправляется сюда; см. также другие значения. Качественный график дзета функции Римана на действительной оси. Слева от нуля значения функции увеличены в 100 раз …   Википедия

  • Римана дзета-функция — Дзета функция Римана ζ(s) определяется с помощью ряда Дирихле: . В области , этот ряд сходится, является аналитической функцией и допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость без единицы. В этой области также верно… …   Википедия

  • Дзета-функция — Римана ζ(s) определяется с помощью ряда Дирихле: . В области , этот ряд сходится, является аналитической функцией и допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость без единицы. В этой области также верно представление в виде… …   Википедия

  • ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ — z ф у нкция, 1) Д. ф. в теории чисел класс аналитич. функций комплексного переменного, состоящий из z функции Римана, ее обобщений и аналогов. Д. ф. и их обобщения в виде L функций (см. Дирихле L функции )лежат в основе современной аналитич.… …   Математическая энциклопедия

  • РИМАНА ГИПОТЕЗЫ — в а н а л и т и ч е с к о й т е о р и и ч и с е л пять гипотез, высказанных Б. Риманом (В. Riemann, 1876) относительно распределения нетривиальных нулей дзета функции и относительно выражения через эти нули числа простых чисел, не превосходящих… …   Математическая энциклопедия

  • Гипотеза Римана — Задачи тысячелетия Равенство классов P и NP Гипотеза Ходжа Гипотеза Пуанкаре Гипотеза Римана Квантовая теория Янга  Миллса Существование и гладкость  решений уравнений Навье Стокса Гипотеза Бёрча Свиннертон Дайера Гипотеза Римана о… …   Википедия

  • Ζ-функция Римана — Дзета функция Римана ζ(s) определяется с помощью ряда Дирихле: . В области , этот ряд сходится, является аналитической функцией и допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость без единицы. В этой области также верно… …   Википедия

  • Дзета-функция —         1) аналитическая функция комплексного переменного s = σ + it, определяемая при σ > 1 формулой                  Эту функцию для действительных s ввёл в математический анализ Л. Эйлер (1737), а для комплексных s впервые изучал немецкий… …   Большая советская энциклопедия

  • Нуль функции — Нули косинуса на интервале [ 2π,2π] (красные точки) Нуль функции в математике  элемент из области определения функции, в котором она принимает нулевое значение. Например, для функции …   Википедия

  • Сельберг, Атле — Атле Сельберг норв. Atle Selberg …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»