- Нули дзета-функции Римана
-
Задачи тысячелетия Равенство классов P и NP Гипотеза Ходжа Гипотеза Пуанкаре Гипотеза Римана Квантовая теория Янга — Миллса Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса Гипотеза Берча и Свиннертона — Дайера Гипо́теза Ри́мана о распределении нулей дзета-функции Римана была сформулирована Бернхардом Риманом в 1859 году.
Функция ζ(s) определена для всех комплексных , и имеет нули для отрицательных целых . Из функционального уравнения , и явного выражения при следует, что все остальные нули, называемые «нетривиальными», расположены в полосе симметрично относительно так называемой «критической линии» . Гипотеза Римана утверждает, что:
Все нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть, равную
Обобщённая гипотеза Римана состоит из того же самого утверждения для обобщений дзета-функций, называемых L-функциями Дирихле.
На 2004 год проверены более 1013 первых нулей. [1]
Большинство математиков верят, что гипотеза верна. Многие утверждения о распределении простых чисел, в том числе о сложности некоторых целочисленных алгоритмов, доказаны в предположении верности гипотезы Римана. В то время как не существует простой закономерности, описывающей распределение простых чисел среди натуральных, Риман обнаружил, что число π(x) простых чисел, не превосходящих x, выражается через распределение нетривиальных нулей дзета-функции.
Гипотеза Римана входит в список семи «проблем тысячелетия», за решение каждой из которых Математический институт Клэя (Clay Mathematics Institute, Кембридж, Массачусетс) выплатит приз в 1 млн. долларов США. Интересно, что опровержение гипотезы Римана не даст права на получение приза.[1]
Содержание
История
В 1896 Адамар и Валле-Пуссен независимо доказали, что нули дзета-функции не могут лежать на прямых и .
В 1900 Давид Гильберт включил гипотезу Римана в список 23 нерешённых проблем как часть восьмой проблемы, совместно с гипотезой Гольдбаха.
В 1914 Харди доказал, что на критической линии находится бесконечно много нулей, а позже Харди и Литлвуд дали оценку снизу доли нулей, лежащей на критической линии, которую потом улучшали разные математики.
Некоторые нетривиальные нули располагаются экстремально близко друг к другу. Это свойство известно как «явление Лемера (Lehmer)».
Титчмарш, Ворос в 1987 показали, что дзета-функция может быть разложена в произведение через свои нетривиальные нули в разложение Адамара.
Группа математиков Университета Пардье (Purdue University, USA) под руководством Луи де Бранжа (Louis De Branges de Bourcia) предложила доказательство гипотезы Римана [2], которое, однако, оказалось неверным [3].
Эквивалентные формулировки
В 1901 Хельге фон Кох показал, что гипотеза Римана эквивалентна следующему утверждению о распределении простых чисел:
- при
Интересные факты
Знаменит ответ Гильберта на вопрос о том, каковы будут его действия, если он по какой-либо причине проспит пятьсот лет и вдруг проснется. Математик ответил, что самым первым делом он спросит была ли доказана гипотеза Римана.
Примечания
Ссылки
- С.Николенко Проблемы 2000 года: гипотеза Римана // Компьютерра. — 2005. — В. 35.
См. также
Wikimedia Foundation. 2010.