Псевдоскалярное произведение

Псевдоскалярным^[1] или косым произведением векторов $\mathbf a$ и $\mathbf b$ на плоскости называется число

$\mathbf a \wedge \mathbf b=|\mathbf a|\cdot|\mathbf b|\sin\theta,$

где $\theta = \angle(\mathbf{a}, \mathbf{b})$ — угол вращения (против часовой стрелки) от $\mathbf a$ к $\mathbf b$. Если хотя бы один из векторов $\mathbf a$ и $\mathbf b$ нулевой, то полагают $\mathbf a\wedge \mathbf b=0$. Геометрически псевдоскалярное произведение векторов представляет собой ориентированную площадь параллелограмма, натянутого на эти вектора. С её помощью удобно работать с площадями многоугольников, выражать условия коллинеарности векторов и находить углы между ними.

Псевдоскалярное произведение существует только для 2-мерных векторов, его аналогом в трехмерном пространстве является тройное скалярное произведение.

Свойства

• Линейность: $\mathbf a \wedge (\lambda\mathbf b+\mu\mathbf C) = \lambda \mathbf a \wedge \mathbf b + \mu\mathbf a \wedge \mathbf c.$ Здесь $\lambda$, $\mu$ — произвольные вещественные числа.
• Антикоммутативность: $\mathbf a \wedge \mathbf b = -\mathbf b\wedge \mathbf a$.
• $\mathbf a \wedge \mathbf b$ является псевдоскаляром, то есть инвариантом при всех невырожденных изометриях, не включающих отражений.
• Псевдоскалярное произведение $\mathbf a\wedge \mathbf b$ — это ориентированная площадь параллелограмма, натянутого на векторы $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$.
  • Абсолютная величина псевдоскалярного произведения $|\mathbf a\wedge \mathbf b|$ — это площадь такого параллелограмма.
  • Ориентированная площадь треугольника $\triangle ABC$ выражается формулой

    $S(A,B,C)=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}),$

  а его площадь, следовательно, равна модулю этой величины.

• Если рассматривать плоскость в трёхмерном пространстве, то

  $\mathbf a\wedge \mathbf b=\pm(\mathbf a \times \mathbf b)\cdot \mathbf n,$

где «$\times$» и «$\ \cdot$» соответственно — векторное и скалярное произведение, а $\mathbf{n}$ — единичный вектор нормали к плоскости. Знак плюс берется в случае, если правый базис на плоскости, дополненный вектором $\mathbf{n}$, образует также правый базис; в противном случае минус.

• $\mathbf a \wedge \mathbf b = \mathbf 0$ — необходимое и достаточное условие коллинеарности ненулевых векторов на плоскости. Нулевой вектор для удобства работы с более употребительным скалярным произведением обычно считают ортогональным любому другому вектору, хотя это является произвольным соглашением.
• Из линейности и антикоммутативности следует, что если на плоскости задан ортонормированный базис $\lang \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2 \rang,~~\angle(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2) = \tfrac{\pi}{2},$ и два вектора, имеющих в нём координаты $\mathbf a = (a_1, a_2), ~~\mathbf b = (b_1, b_2),$ то их псевдоскалярное произведение равно определителю

$\mathbf a \wedge \mathbf b = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix}$

• Это выражение также можно записать через символ Леви-Чивиты в двумерном пространстве:

$\mathbf a\wedge \mathbf b = \sum_{i,\;j=1}^2 \varepsilon_{ij} a^i b^j$

См. также

• Внешнее произведение
• Смешанное произведение
• Векторное произведение
• Скалярное произведение

Ссылки

1. ↑ Прасолов В. В., Задачи по планиметрии. — 4-е изд., дополненное — М.: МЦНМО, 2001. — 584 с. ; ISBN 5-900916-82-0.