Косое произведение векторов

Псевдоскалярное или косое произведение векторов $\mathbf a$ и $\mathbf b$ на плоскости называют число

$\mathbf a \vee \mathbf b=|\mathbf a|\cdot|\mathbf b|\sin\angle (\mathbf a,\;\mathbf b),$

где $\angle (\mathbf{a},\;\mathbf{b})$ — угол вращения (против часовой стрелки) от $\mathbf a$ к $\mathbf b$. Если хотя бы один из векторов $\mathbf a$ и $\mathbf b$ нулевой, то полагают $\mathbf a\vee \mathbf b=0$.

Записывается с помощью тензора Леви-Чивиты $\varepsilon_{ij}$ через координаты векторов так:

$\mathbf a\vee \mathbf b = \sum_{i,\;j=1}^2 \varepsilon_{ij} a^i b^j$

Свойства

• $\mathbf a \vee \mathbf b = -\mathbf b\vee \mathbf a$.
• $\mathbf a \vee \mathbf b$ является псевдоскаляром, то есть инвариантом при всех невырожденных изометриях, не включающих отражений.
• Псевдоскалярное произведение $\mathbf a\vee \mathbf b$ — это ориентированная площадь параллелограмма, натянутого на векторы $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$.
  • Абсолютная величина псевдоскалярного произведения $|\mathbf a\vee \mathbf b|$ — это площадь такого параллелограмма.
  • Ориентированная площадь треугольника $\triangle ABC$ выражается формулой

    $S(A,B,C)=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}\vee\overrightarrow{AC}),$

  а его площадь, следовательно, равна модулю этой величины.

• Если рассмотривать плоскость в трёхмерном пространстве, то

  $\mathbf a\vee \mathbf b=\pm(\mathbf a \times \mathbf b)\cdot \mathbf n,$

где «$\times$» и «$\ \cdot$» соответственно — векторное и скалярное произведение, а $\mathbf{n}$ — единичный вектор нормали к плоскости. Знак плюс берется в случае, если правый базис на плоскости, дополненный вектором $\mathbf{n}$ образует также правый базис; в противном случае минус.

• $\mathbf a \vee \mathbf b = \mathbf 0$ — необходимое и достаточное условие параллельности (или антипараллельности) векторов на плоскости.

См. также

• Внешнее произведение
• Смешанное произведение
• Векторное произведение
• Скалярное произведение

Ссылки