ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

- раздел векторного исчисления, в к-ром изучаются простейшие операции над (свободными) векторами. К числу этих операций относятся линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на число.

Суммой векторов наз. вектор, проведенный из начала к концу , если конец и начало

совмещены. Операция сложения векторов обладает свойствами:

где - нулевой вектор,- есть вектор, противоположный вектору . Разностью векторов наз. вектор такой, что

Произведением вектора на число в случае пал. вектор, модуль к-рого равен и к-рый направлен в ту же сторону, что и вектор , если , и в противоположную, если . Если или (и) , то . Операция умножения вектора на число обладает свойствами:

(дистрибутивность относительно сложения векторов),

(дистрибутивность относительно сложения чисел),

(ассоциативность), (умножение на единицу). Множество всех векторов пространства с введенными в нем операциями сложения и умножения на число образует векторное пространство (линейное пространство). В В. а. важное значение имеет понятие линейной зависимости векторов. Векторы наз. линейно зависимыми векторами, если существуют числа из к-рых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что справедливо равенство

Для линейной зависимости двух векторов необходима и достаточна их коллинеарность, для линейной зависимости трех векторов необходима и достаточна их компланарность. Если один из векторов нулевой, то они линейно зависимы. Векторы наз. линейно независимым и, если из равенства (1) следует, что числа равны нулю. На плоскости существует не более двух, а в трехмерном пространстве не более трех линейно независимых векторов.

Совокупность трех (двух) линейно независимых векторов трехмерного пространства (плоскости), взятых в определенном порядке, образует б а-з и с. Любой вектор единственным образом представляется в виде суммы:

Числа наз. координатами (компонентами) вектора в данном базисе и пишут .

Два вектора н равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты в одном и том же базисе. Необходимым в достаточным условием коллинеарности векторов является пропорциональность их соответствующих координат: Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство

Линейные операции над векторами сводятся клинейным операциям над координатами. Координаты суммы векторов и равны суммам соответствующих координат: Координаты произведения вектора ана число равны произведениям координат на :

Скалярным произведением ненулевых векторов наз. произведение их модулей на косинус угла между ними:

За j принимается угол между векторами, не превосходящий . Если или , то скалярное произведение полагают равным нулю. Скалярное произведение обладает свойствами:

(коммутативность),

(дистрибутивность относительно сложения векторов),

(сочетательность относительно умножения на число),

лишь если

Для вычисления скалярных произведений векторов часто пользуются декартовыми прямоугольными координатами, т. е. координатами векторов в базисе, состоящем из единичных взаимно перпендикулярных векторов (ортов) (ортонормированный базис). Скалярное произведение векторов

заданных в ортонормированием базисе, вычисляется по формуле:

Косинус угла между ненулевыми векторами и может быть вычислен по формуле

Косинусы углов вектора с векторами базиса наз. направляющими косинусами вектора

Направляющие косинусы обладают следующим свойством:

Осью наз. прямая с лежащим на ней единичным вектором - ортом, задающим положительное направление на прямой. Проекцией вектора на ось наз. направленный отрезок на оси, алгебраич. значение к-рого равно скалярному произведению вектора на вектор . Проекции обладают свойствами:

Каждая координата вектора в ортонормированием базисе равна проекции этого вектора на ось, определяемую соответствующим вектором базиса.

В пространстве различают правые н левые тройки векторов. Тройка некомпланарных векторов наз. правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. В противном случае - левая тройка. Правая (левая) тройка векторов располагается так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки (см. рис.).

Все правые (или левые) тройки векторов наз. одинаково ориентированными. Ниже тройка векторов базиса считается правой.

Пусть на плоскости задано направление положительного вращения (от к |. Псевдоскалярным произведением ненулевых векторов и наз. произведение их модулей на синус угла положительного вращения от к :

Псевдоскалярное произведение нулевых векторов полагают равным нулю. Псевдоскалярное произведение обладает свойствами:

(антикоммутативность),

(дистрибутивность относительно сложения векторов),

(сочетательность относительно умножения на число),

лишь если или (и) или кол-ливеарны.

Если в ортонормированием базисе векторы имеют координаты и то

Векторным произведением ненулевых и неколлинеарных векторов наз. вектор, модуль к-рого равен произведению их модулей на синус угла между ними, перпендикулярный и направленный так, что тройка векторов - правая:

Векторное произведение полагают равным нулю, если или (и) или они коллинеарны. Векторное произведение обладает свойствами:

(антикоммутативность),

(дистрибутивность относительно сложения векторов),

(сочетательность относительно умножения на число),

лишь если или(и) или коллинеарны.

Если в ортонормпрованном базисе векторы имеют координаты и , то

Смешанным произведением векторов наз. скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов :

Смешанное произведение обладает свойствами:

лишь если или (и) или (и) или векторы компланарны.

если тройка векторов - правая, если - тройка левая.

Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах Если в ортонормированном базисе векторы имеют координаты то

Двойным векторным произведением векторов наз. векторное произведение .

При вычислении двойного векторного произведения имеют место формулы:

Лит.:[1] Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии..., М., 1968; [2] Ефимов Н. В., Краткий курс аналитической геометрии, 9 изд., М., 1967; [3] Ильин В. А., Позняк Э. Г., Аналитическая геометрия, М., 1968; [4] Погорелов А. В., Аналитическая геометрия, 3 изд., М., 1968. Ю. П. Пытьев.