Символы Кристоффеля

Символы Кристоффеля являются координатными выражениями аффинной связности, в частности связности Леви-Чивиты. Названы в честь Элвина Бруно Кристоффеля (1829—1900),

Символы Кристоффеля используются в дифференциальной геометрии, общей теории относительности и близких к ней теориях гравитации.

Символы Кристоффеля появляются в координатном выражении тензора кривизны. При этом сами символы тензорами не являются.

Ниже используется правило суммирования Эйнштейна, то есть по повторяющимся индексам подразумевается суммирование.

Элементарное понятие о символах Кристоффеля

Рис. 1. Параллельный перенос вдоль луча

Рис. 2. Параллельный перенос вдоль дуги

Введение

Наглядное представление о символах Кристоффеля можно получить на примере полярной системы координат. В этой системе координатами точки являются расстояние ${r}$ от неё до полюса и угол $\varphi$ направления от полярной оси.

Координатами вектора, как и в прямоугольной системе координат, следует считать дифференциалы (бесконечно малые приращения) этих величин: $({\rm d} r,\,{\rm d}\varphi)$.

Пусть есть вектор $\boldsymbol A$ с координатами $(a,\,\alpha)$, где $a$ имеет геометрический смысл проекции вектора $\boldsymbol A$ на радиальный луч (проходящий через начало вектора), а $\alpha$ — угол, под которым вектор виден из полюса.

В прямоугольной системе координат компоненты вектора не меняются при параллельном переносе. В полярной системе координат это не так (см. рисунки). Символы Кристоффеля как раз и выражают изменение компонент вектора при его параллельном переносе.

Параллельный перенос вдоль координатных линий

При смещении вектора вдоль радиального луча на расстояние ${\rm d}r$, его компонента $a$, очевидно, не меняется, но вторая его координата ($\alpha$) уменьшается (рис. 1). Величина вектора $|A|^2= a^2 + r^2\alpha^2$ остаётся неизменной, поэтому $a^2 + (r+{\rm d}r)^2(\alpha+{\rm d}\alpha)^2 =a^2 + r^2\alpha^2$. Отсюда получается (пренебрежением величинами второго и большего порядков малости):

${\rm d}\alpha=-\frac{1}{r}\,\alpha\,{\rm d}r.$

При параллельном переносе вдоль дуги меняются обе координаты $a$ и $\alpha$ (рис. 2). Очевидно, $\alpha = \frac{A}{r}\sin\lambda$, $a=A\cos\lambda$, и ${\rm d}\lambda = -{\rm d}\varphi$ поэтому:

${\rm d}\alpha=-\frac{1}{r}\,a\,{\rm d}\varphi.$

Кроме этого, так как $a=A\cos\lambda$, ${\rm d}\lambda = -{\rm d}\varphi$, и $A\sin\lambda=r\alpha$, то

${\rm d}a=-(-r)\,\alpha\,{\rm d}\varphi.$

Параллельный перенос в произвольном направлении

При произвольном малом смещении вектора (когда меняются и $r$, и $\varphi$) изменения компонент надо складывать:

${\rm d}a=-(-r)\,\alpha\,{\rm d}\varphi.$ ${\rm d}\alpha=-\frac{1}{r}\,\alpha\,{\rm d}r-\frac{1}{r}\,a\,{\rm d}\varphi.$

Полученные выражения имеют общую структуру: изменение компонент вектора пропорционально всем компонентам вектора и пропорционально величине сдвига вектора. Коэффициенты пропорциональности (без общего минуса) и называются символами Кристоффеля.

В более общих обозначениях $x^1=r$, $x^2=\varphi$, ${A^1=a}$ и $A^2=\alpha$ можно записать (имея ввиду сумму по повторяющимся индексам):

${\rm d}A^i=-\Gamma^{i}_{kl}A^k {\rm d}x^l.$

Здесь символы Кристоффеля ${\Gamma^1_{22}=-r}$, $\Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}=1/r$, а все остальные равны нулю.

В прямоугольной системе координат все символы Кристоффеля равны нулю, так как компоненты вектора не изменяются при параллельном переносе. Из этого можно сделать вывод, что символы Кристоффеля не образуют тензор: если тензор равен нулю в какой-либо системе координат, то он равен нулю во всех остальных системах координат.

Символы Кристоффеля первого и второго рода

Символы Кристоффеля второго рода $\Gamma^{k}_{ij}$ можно определить как коэффициенты разложения ковариантной производной координатных векторов $\partial_i=\frac{\partial }{\partial x^i}$ по базису:

$\nabla_{\partial_j}\partial_i = \Gamma^{k}_{ij}\partial_k$

Символы Кристоффеля первого рода $\Gamma^{}_{n,ij}$

$\Gamma_{n,ij}=g_{kn}\Gamma^{k}_{ij}=\tfrac12\left(\frac{\partial g_{in}}{\partial x^j} + \frac{\partial g_{jn}}{\partial x^i} - \frac{\partial g_{ij}}{\partial x^n}\right)$

Выражение через метрический тензор

Символы Кристоффеля связности Леви-Чивита для карты $x^i$ могут быть определены из отсутствия кручения, то есть

$\Gamma^i {}_{jk}=\Gamma^i {}_{kj}.$

и того условия, что ковариантная производная метрического тензора $g_{ik}\$ равна нулю:

$\nabla_\ell g_{ik}=\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^\ell}- g_{mk}\Gamma^m {}_{i\ell} - g_{im}\Gamma^m {}_{k\ell}=0.\$

Для сокращения записи символ набла $\nabla$ и символы частных производных часто опускаются, вместо них перед индексом, по которому производится дифференцирование, ставится точка с запятой «;» в случае ковариантной и запятая ", " в случае частной производной. Таким образом, выражение выше можно также записать как

$\,g_{ik;\ell} = g_{ik,\ell} - g_{mk} \Gamma^m {}_{i\ell} - g_{im} \Gamma^m {}_{k\ell} = 0. \$

Явные выражения для символов Кристоффеля второго рода получаются, если сложить это уравнение и другие два уравнения, которые получаются циклической перестановкой индексов:

$\Gamma^i {}_{k\ell}= \frac{1}{2}g^{im} \left( \frac{\partial g_{mk}}{\partial x^\ell} + \frac{\partial g_{m\ell}}{\partial x^k} - \frac{\partial g_{k\ell}}{\partial x^m} \right) = {1 \over 2} g^{im} (g_{mk,\ell} + g_{m\ell,k} - g_{k\ell,m}), \$

где $g^{ij}\$ — контравариантное представление метрики, которое есть матрица, обратная к $g_{ij}\$, находится путём решения системы линейных уравнений $g^{ij}g_{jk}=\delta^i_k\$.

Связь с безындексными обозначениями

Формальные, безындексные определения связности абстрагируются от конкретной системы координат и поэтому более предпочтительны при доказательстве математических теорем.

Пусть X и Y — векторные поля с компонентами $X^i\$ и $Y^k\$. Тогда k-я компонента ковариантной производной поля Y по отношению к X задается выражением

$\left(\nabla_X Y\right)^k = X^i \nabla_i Y^k = X^i \left(\frac{\partial Y^k}{\partial x^i} + \Gamma^k {}_{im} Y^m\right).\$

Условие отсутствия кручения у связности, :$\nabla_X Y - \nabla_Y X = [X,Y]\$, эквивалентно симметричности символов Кристоффеля по двум нижним индексам:

$\Gamma^i {}_{jk}=\Gamma^i {}_{kj}.$

Замена координат

Несмотря на то, что символы Кристоффеля записываются в тех же обозначениях, что и компоненты тензоров, они не являются тензорами, потому что не преобразуются как тензоры при переходе в новую систему координат. В частности, выбором координат в окрестности любой точки символы Кристоффеля могут быть локально сделаны равными нулю (или обратно ненулевыми), что невозможно для тензора.

При замене переменных $(x^1,...,x^n)\$ на $(y^1,...,y^n)\$, базисные векторы преобразуются ковариантно,

$\frac{\partial}{\partial y^i} = \frac{\partial x^k}{\partial y^i}\frac{\partial}{\partial x^k}\$

откуда следует формула преобразования символов Кристоффеля:

$\overline{\Gamma^k {}_{ij}} = \frac{\partial x^p}{\partial y^i}\, \frac{\partial x^q}{\partial y^j}\, \Gamma^r {}_{pq}\, \frac{\partial y^k}{\partial x^r} + \frac{\partial y^k}{\partial x^m}\, \frac{\partial^2 x^m}{\partial y^i \partial y^j} \$

Черта означает систему координат y. Таким образом, символы Кристоффеля не преобразуются как тензор. Они представляют собой более сложный геометрический объект в касательном пространстве с нелинейным законом преобразования от одной системы координат к другой.

Примечание. Можно заметить, например, из определения, что первый индекс является тензорным, то есть по нему символы Кристоффеля преобразуются как тензор.

Символы Кристоффеля в различных системах координат

Пользуясь выражением символа через метрический тензор, либо преобразованием координат, можно получить значения их в любой системе координат. В механике и физике чаще всего используются ортогональные криволинейные системы координат. В этом случае символы Кристоффеля с равными коэффициентами выражаются через коэффициенты Ламе (диагональные элементы метрического тензора) $H_\beta$, а все остальные равны нулю.

Символы Кристоффеля первого рода выражаются так:

$\Gamma_{\beta\beta,\gamma}=-{H_\beta}{H_\gamma}\frac{\partial H_\beta}{\partial x^\gamma}$, при $\beta\neq\gamma$.

$\Gamma_{\beta\gamma,\beta}={H_\beta}\frac{\partial H_\beta}{\partial x^\gamma}$.

Символы Кристоффеля второго рода:

$\Gamma^\gamma_{\beta\beta}=-\frac{H_\beta}{H_\gamma^2}\frac{\partial H_\beta}{\partial x^\gamma}$, при $\beta\neq\gamma$.

$\Gamma^\beta_{\beta\gamma}=\Gamma^\beta_{\gamma\beta}=\frac{1}{H_\beta}\frac{\partial H_\beta}{\partial x^\gamma}$

Ниже приведены значения для распространённых систем координат:

• В декартовой системе координат $\left\{x, y, z\right\}$: $\Gamma^k_{ij}\equiv 0$, поэтому ковариантная производная совпадает с частной производной.
• В цилиндрической системе координат $\left\{r, \phi, z\right\}$: $\Gamma^1_{22}=-r$, $~\Gamma^2_{21}=\Gamma^2_{12}=\frac{1}{r}$. Остальные равны нулю.
• В сферической системе координат $\left\{r, \theta, \phi\right\}$: $\Gamma^1_{22}=-r$, $\Gamma^1_{33}=-r\sin^2\theta$, $~\Gamma^2_{21}=\Gamma^2_{12}=\Gamma^3_{13}=\Gamma^3_{31}=\frac{1}{r}$, $\Gamma^2_{33}=-\cos\theta\sin\theta$, $\Gamma^3_{23}=\Gamma^3_{32}=\operatorname{ctg}\theta$. Остальные равны нулю.

См. также

• Связность Леви-Чивиты
• Ковариантная производная
• Геодезическая
• Деривационные формулы Вейнгартена

Другие величины, широко используемые в тензорном анализе

• Символ Леви-Чивиты
• Символ Кронекера
• Метрический тензор
• Тензор кривизны

Литература

• Димитриенко Ю.И. Тензорное исчисление. — М.: Высшая школа, 2001. — 575 с. — ISBN 5-06-004155-7
• Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. — Издательство Московского университета, 1974. — 206 с.

Ссылки