- Ковариантное дифференцирование
-
Ковариантная производная — обобщение понятия производной для тензорных полей на многообразиях. Понятие ковариантной производной тесно связано с понятием аффинной связности.
Ковариантная производная тензорного поля T в направлении касательного вектора обычно обозначается .
Содержание
Формальное определение
Скалярные функции
Для скалярной функции f ковариантная производная совпадает с обычной производной функции по направлению векторного поля .
Векторные поля
Ковариантная производная векторного поля по направлению векторного поля , обозначаемая определяется по следующим свойствам, для любого вектора , векторных полей , и скалярных функций f и g:
- линейно по отношению к , то есть
- аддитивно относительно , то есть
- подчиняется правилу произведения, то есть где определено выше.
Замечание
Заметим, что в точке p зависит только от значения в точке p и от значений в ее окрестности. В частности, оператор ковариантной производной не является тензором (несмотря на то, что его значение на каждом тензорном поле тензором является).
Ковекторные поля
Если задано поле ковекторов (или 1-форм) α, его ковариантная производная может быть определена используя следующее тождество, которое удовлетворяется для всех векторных полей
Ковариантная производная ковекторного поля вдоль векторного поля — тоже ковекторное поле.
Тензорные поля
Как только ковариантная производная определена для векторных и ковекторных полей, ее легко обобщить на произвольные тензорные поля при помощи правила Лейбница ( и ψ — произвольные тензоры):
Если и ψ — тензорные поля из одного и того же тензорного расслоения, их можно сложить:
Выражение в координатах
Пусть тензорное поле типа (p,q) задано своими компонентами в некоторой локальной системе координат xk, причем компоненты — дифференцируемые функции. Тогда ковариантная производная тензорного поля представляет собой тензор типа (p,q + 1), который определяется по формуле:
где Γkij — символы Кристоффеля, выражающие связность искривленного многообразия.
Примеры для некоторых типов тензорных полей
Ковариантная производная векторного поля имеет по сравнению с частной производной дополнительное слагаемое,
Ковариантная производная скалярного поля совпадает с частной производной,
а ковариантная производная ковекторного поля -
В пространстве без кручения символы Кристоффеля симметричны, и ковариантные производные скалярного поля коммутируют:
В общем случае ковариантные производные тензоров не коммутируют (см. тензор кривизны).
Ковариантная производная тензорного поля типа (2,0) равна
то есть
Для тензорного поля с одним верхним, одним нижним индексом ковариантная производная равна
наконец, для дважды ковариантного тензорного поля, то есть поля типа (0,2),
См. также
- Тензор кривизны
- Связность Леви-Чивиты
- Символы Кристоффеля
- Оператор набла в различных системах координат
Wikimedia Foundation. 2010.