Унитарное пространство

Унитарное пространство — векторное пространство над полем комплексных чисел с эрмитовым скалярным произведением.

Эрмитовым скалярным произведением в линейном пространстве $\mathbb L$ над полем комплексных чисел называется функция $\langle \cdot, \cdot \rangle : \mathbb L \times \mathbb L \to \C,$ удовлетворяющая следующим условиям:

• 1) (линейность скалярного произведения по первому аргументу)

$\forall ~x_1, x_2, y \in \mathbb L$ и $\forall ~\alpha , \beta \in \C$ справедливы равенства:

$\langle \alpha x_1+\beta x_2,y \rangle = \alpha \langle x_1,y \rangle + \beta \langle x_2,y \rangle,$

• 2) (эрмитовость скалярного произведения)

$\forall ~x, ~y \in \mathbb L$ справедливо равенство $\langle y,x \rangle = \overline{\langle x,y \rangle}$,

• 3) (положительная определенность скалярного произведения)

$\forall ~x \in \mathbb L~$ имеем $~\langle x,x \rangle \ge 0,~$ причем $\langle x,x \rangle =0$ только при $~x=0$.

Другими словами, скалярным произведением называется положительно определенная полуторалинейная эрмитова функция $\langle \cdot, \cdot \rangle : \mathbb L \times \mathbb L \to \C$.

Отметим, что над действительным пространством условие полуторалинейности эквивалентно билинейности, а эрмитовость — симметричности, и скалярное произведение становится положительно определенной билинейной симметричной функцией $\langle \cdot, \cdot \rangle : \mathbb L \times \mathbb L \to \R$.

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Проставить интервики в рамках проекта Интервики. Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.