Атомарная функция

Атомарная функция

Атомарная функция[1] — финитное решение функционально-дифференциального уравнения вида

Ly(x)=\sum_{k=1}^{M}{c_{k}y(ax-b_{k})},

где L\; — линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами; коэффициенты a, b_{k}, c_{k} \in \mathbb{R}, причём |a|\;>\;1.

Содержание

Атомарная функция up(x)

Простейшая атомарная функция \mathrm{up}(x)\; является финитным бесконечно-дифференцируемым решением функционально-дифференциального уравнения

\frac{1}{2}y'(x)=y(2x+1)-y(2x-1)\;

с носителем \mathrm{supp}\;\mathrm{up}(x)=(-1,1).

Атомарная функция \mathrm{up}(x) и ее производная.

Преобразование Фурье \mathrm{up}(x)\; имеет вид

\hat{\mathrm{up}}(t)=\prod_{k=1}^{\infty}\mathrm{sinc}{\frac{t}{2^k}},

где \mathrm{sinc}=\sin{x}/x\;sinc-функция.

Функция \mathrm{up}(x)\; — чётная, возрастает на интервале [-1,\;0], убывает на интервале [0,\;1] и ограничивает единичную площадь. Кроме того, \mathrm{up}(1-x)=1-\mathrm{up}(x)\; при x\in\;[0,1]. Таким образом, целочисленные сдвиги \mathrm{up}(x)\; образуют следующее разбиение единицы:

\sum_{j=-\infty}^{\infty}{\mathrm{up}(x-j)}\equiv 1.

Значения \mathrm{up}(x)\; в двоично-рациональных точках вида 2^{-n}k\;рациональные числа. Функция \mathrm{up}(x)\; неаналитична ни в одной точке своего носителя. Для ее вычисления нельзя использовать ряд Тейлора, а существуют быстросходящиеся ряды специального вида. Используются также разложения \mathrm{up}(x)\; в ряд Фурье, ряды по полиномам Лежандра, Бернштейна и др.

Атомарные функции бесконечно дробимы, то есть представимы в виде линейной комбинации сдвигов-сжатий финитных функций с произвольной длиной носителя (дробных компонент), и могут рассматриваться как аналоги B-сплайнов бесконечной гладкости, а также идейные предшественники вейвлетов. Хорошие аппроксимативные свойства функции \mathrm{up}(x)\; основаны на том факте, что с помощью линейной комбинации сдвигов-сжатий \mathrm{up}(x)\; можно представить алгебраический многочлен любой степени.

Атомарные функции ha(x), совершенные сплайны

Атомарные функции \mathrm{h}_a(x)\; (при a>1\;) являются обобщением функции \mathrm{up}(x)\;. Соответствующие функционально-дифференциальные уравнения имеют вид:

\frac{2}{a^2}y'(x)=y(ax+1)-y(ax-1).\;

Таким образом, \mathrm{up}(x)\;\equiv\;\mathrm{h}_2(x). Преобразование Фурье \mathrm{h}_a(x)\; имеет вид

\hat{\mathrm{h}_a}(t)=\prod_{n=1}^{\infty}\mathrm{sinc}{\frac{t}{a^n}},

следовательно, функции \mathrm{h}_a(x)\; есть бесконечнократные свёртки характеристических функций интервалов (прямоугольных функций), ширины которых убывают в геометрической прогрессии. Если в последнем выражении ограничиться конечным числом членов M\; бесконечного произведения, получим преобразование Фурье совершенных сплайнов \mathrm{h}_{a,M}(x)\; с рекуррентным функционально-дифференциальным выражением

\frac{2}{a^2}\mathrm{h}'_{a,M} (x)=\mathrm{h}_{a,M-1}(ax+1)-\mathrm{h}_{a,M-1}(ax-1).\;

Обобщенная теорема Котельникова

Нули преобразований Фурье функций \mathrm{h}_a(x)\; расположены регулярным образом в точках a\pi n\; (n\neq 0). В связи с этим любую непрерывную функцию f(x)\; с финитным спектром (\mathrm{supp}\hat{f}=[-\Omega,\Omega]) можно разложить в ряд

f(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}{f(k\Delta)\hat{\mathrm{h}_a}\left[\frac{a\pi}{\Delta}(x-k\Delta)\right]},

где a>2,\;0<\Delta\leq\pi(a-2)/\Omega(a-1).

Данная формула обобщает известную теорему Котельникова, и была предложена Е. Г. Зелкиным, В. Ф. Кравченко и М. А. Басарабом[2].

История и развитие

Атомарные функции впервые были введены в работе[3]. Обстоятельства появления функции \mathrm{up}(x)\; связаны с проблемой, поставленной В. Л. Рвачёвым и решенной В. А. Рвачёвым: найти финитную дифференцируемую функцию, имеющую колоколообразный вид, такую, что ее производная будет составлена, в свою очередь, из двух колоколообразных функций, каждая из которых представляет собой сдвинутую и сжатую копию исходной функции с точностью до масштабного коэффициента.

Обзор ранних работ по теории атомарных функций приведен в[4]. В настоящее время атомарные функции находят широкое применение в теории аппроксимации, численном анализе, цифровой обработке сигналов, вейвлет-анализе и других областях. Большой цикл работ по теории и применениям атомарных функций в различных физических приложениях опубликован В. Ф. Кравченко и представителями его научной школы[5][6][7][8][9].

Примечания

  1. Рвачёв В. Л., Рвачёв В. А. Неклассические методы теории приближений в краевых задачах. — Киев: Наукова думка, 1979.
  2. Зелкин Е. Г., Кравченко В. Ф., Басараб М. А. Интерполяция сигналов с финитным спектром с помощью преобразований Фурье атомарных функций и ее применение в задачах синтеза антенн // Радиотехника и электроника, 2002, т. 47, № 4, с. 461—468.
  3. Рвачёв В. Л., Рвачёв В. А. Об одной финитной функции // ДАН УССР, сер. А., 1971, с. 705—707.
  4. Стоян Ю. Г., Проценко В. С., Манько Г. П. и др. Теория R-функций и актуальные проблемы прикладной математики. Глава 2. — Киев: Наукова думка, 1986. С. 45—65.
  5. Кравченко В. Ф. Лекции по теории атомарных функций и некоторым их приложениям. — М.: Радиотехника, 2003.
  6. Басараб М. А., Зелкин Е. Г., Кравченко В. Ф., Яковлев В. П. Цифровая обработка сигналов на основе теоремы Уиттекера—Котельникова—Шеннона. — М.: Радиотехника, 2004.
  7. Кравченко В. Ф., Рвачев В. Л. Алгебра логики, атомарные функции и вейвлеты в физических приложениях. — М.: Физматлит, 2006.
  8. Цифровая обработка сигналов и изображений в радиофизических приложениях / Под ред. В. Ф. Кравченко. — М.: Физматлит, 2007.
  9. Басараб М. А., Кравченко В. Ф., Матвеев В. А. Методы моделирования и цифровой обработки сигналов в гироскопии. — М.: Физматлит, 2008.

См. также


Wikimedia Foundation. 2010.

Поможем написать курсовую

Полезное


Смотреть что такое "Атомарная функция" в других словарях:

  • Прямоугольная функция — Прямоугольная функция, единичный импульс, прямоугольный импульс, или нормированное прямоугольное окно  кусочно постоянная функция следующег …   Википедия

  • Sinc — Графики нормированной и ненор …   Википедия

  • sinc — …   Википедия

  • Теория приближений — Теория приближений  раздел математики, изучающий вопрос о возможности приближенного представления одних математических объектов другими, как правило более простой природы, а также вопросы об оценках вносимой при этом погрешности.… …   Википедия

  • ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ — центральный раздел логики, в котором изучается субъектно предикатная структура высказывании и истинностные взаимосвязи между ними. Л.п. представляет собой содержательное расширение логики высказываний. В рамках данного раздела любое высказывание… …   Философская энциклопедия

  • КОМБИНАТОРНАЯ ЛОГИКА — см. Логика комбинаторная. Философская Энциклопедия. В 5 х т. М.: Советская энциклопедия. Под редакцией Ф. В. Константинова. 1960 1970. КОМБИНАТОРНАЯ ЛОГИКА …   Философская энциклопедия

  • МАНАС —         (ум, рассудок) в ньяя вайшешике это вечная атомарная вещь (дравья), орган (индрия) Атмана. Существованием его объясняется наличие в каждый момент лишь одного содержания сознания. М. у каждого индивидуального духа один; гл. его функция… …   Словарь индуизма

  • Аморфные тела — В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете …   Википедия

  • Сравнение с обменом — (англ. compare and set, compare and swap, CAS)  атомарная инструкция, сравнивающая значение в памяти с одним из аргументов, и в случае успеха записывающая второй аргумент в память. Поддерживается в семействах процессоров x86, Itanium,… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»