Бесконечное произведение

В математике для последовательности чисел $a_1,a_2,a_3,\dots$ бесконечное произведение

$\prod_{n=1}^{\infty} a_n = a_1a_2a_3\dots$

определяется как предел частичных произведений $a_1a_2\dots a_n$ при $n\to\infty$. Произведение называется сходящимся, когда предел существует и не равен нулю. Иначе произведение называется расходящимся. Случай, в котором предел равен нулю, рассматривается отдельно, для получения результатов, аналогичных результатам для бесконечных сумм. Если произведение сходится, тогда необходимо выполняется предельное равенство $\lim_{n\to\infty}a_n=1$. Следовательно, логарифм $\ln a_n$ определён для всех $n$, за исключением конечного числа значений, присутствие которых не влияет на сходимость, исключив из последовательность $\{a_n\}$ это конечное число членов, получим равенство:

$\ln \prod_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \ln a_n,$

в котором сходимость бесконечной суммы в правой части равносильна сходимости бесконечного произведения в левой. Это позволяет переформулировать критерий сходимости бесконечных сумм в критерий сходимости бесконечных произведений. Для произведений, таких, что для любого $n$ $a_n\geqslant 1$, обозначим $p_n=a_n-1$, тогда $a_n=p_n+1$ и $p_n\geqslant 0$, откуда следует неравенство:

$1+\sum_{n=1}^{N} p_n \leqslant \prod_{n=1}^{N} \left( 1 + p_n \right) \leqslant \exp \left( \sum_{n=1}^{N}p_n \right)$

которое показывает, что бесконечное произведение $\prod_{n=1}^{\infty} a_n$ сходится тогда и только тогда, когда сходится бесконечная сумма $\sum_{n=1}^{\infty} p_n$.

Наиболее известные примеры бесконечных произведений, наверное, некоторые формулы для $\pi$, такие как следующие два бесконечных произведения, доказанные соответственно Франсуа Виетом и Джоном Валлисом:

$\frac{2}{\pi} = \frac{ \sqrt{2} }{ 2 } \cdot \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2}} }{ 2 } \cdot \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}} }{ 2 } \cdots$;

$\frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \prod_{n=1}^{\infty} \left( \frac{4n^2}{ 4n^2 - 1 } \right)$.

Представление функции в виде бесконечного произведения

Основная статья: Теорема Вейерштрасса о целых функциях

Один важный результат о бесконечных произведениях — то, что любая целая функция $f$, имеющая не более чем счётное количество нулей $\{0\}\cup\{a_n\}\to\infty$, где точка 0 — нуль порядка $\lambda$, может быть представлена в виде бесконечного произведения вида

$f(z)=z^\lambda e^{h(z)}\prod_1^\infty\left(1-\frac{z}{a_n}\right)\exp\left(\frac{z}{a_n}+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{a_n}\right)^2+\dots+\frac{1}{p_n}\left(\frac{z}{a_n}\right)^{p_n}\right)$,

где $h$ — некоторая целая функция, а неотрицательные целые числа $p_n$ подобраны таким образом, чтобы ряд $\sum_1^\infty\left(\frac{z}{a_n}\right)^{p_n+1}$ сходился. При $p_n = 0$ соответственная множителю номер $n$ экспонента опускается (считается равной $\exp(0) = 1$).

Ссылки

• Infinite products from Wolfram Math World