Разбиение единицы

Разбиение единицы — конструкция, используемая в топологии для удобства работы с многообразием как множеством карт.

С помощью разбиения единицы определяется, в частности, интеграл от дифференциальной формы на многообразии.

Конструкция

Пусть дано открытое покрытие топологического пространства открытыми множествами $D_\alpha$. Разбиением единицы подчиненным покрытию $\{ D_\alpha\}$ называется набор неотрицательных гладких функций $f_\beta$ на $M$, обладающих следующими свойствами:

• $0\leqslant f_\beta\leqslant 1.$
• Носитель каждой из функций $f_\beta$ целиком содержится в одном из множеств $D_\alpha$.
• Для любой точки $x\in M$ существует окрестность $W\ni x$, такая что пересечение $W\cap\mathrm{supp}\,f_\beta$ непусто не более чем для конечного числа индексов $\beta$.
• Для любой точки $x\in M$ имеем $\sum_{\beta}{f_{\beta}(x)=1}$. Эта сумма определена, так как по предыдущему свойству число функций, таких что $f_{\beta}(x)\ne 0$, конечно.

Свойства

• Для всякого открытого покрытия паракомпактного пространства существует подчинённое разбиение единицы.