Линейная мера

Линейная мера

Мера Хаусдорфа — собирательное название класса мер, определённых на борелевской σ-алгебре \mathcal{B}(X) метрического пространства X.

Содержание

Определение

Ф. Хаусдорф рассматривал[1] некоторый класс \mathcal{U} открытых подмножеств X, на котором определил неотрицательную функцию l=\{l(A)\mid A\in\mathcal{U}\} и

\lambda(B,\;\varepsilon)=\inf\left\{\sum_{i=1}^n l(A_i)\right\},

где нижняя грань берётся по всем конечным или счётным покрытиям борелевского множества B\subset X множествами из \mathcal{U} с диаметром, не превосходящим \varepsilon, то есть

B\subset\bigcup_{i=1}^n A_i\in\mathcal{U}

и

\mathrm{diam}\,A_i\leqslant\varepsilon,\quad n=1,\;2,\;\ldots

Мерой Хаусдорфа λ, определяемой классом \mathcal{U} и функцией l, называется предел

\lambda(B)=\lim_{\varepsilon\to 0}\lambda(B,\;\varepsilon).

Примеры

  1. Пусть \mathcal{U} — совокупность всех шаров в X, a l(A)=(\mathrm{diam}\,A)^\alpha, где α > 0. Тогда соответствующая мера λ будет называться α-мерой Хаусдорфа. При α = 1 такая мера будет называться линейной мерой Хаусдорфа, а при α = 2 — плоской мерой Хаусдорфа.
  2. Если X=\R^{n+1}, \mathcal{U} — совокупность цилиндров с шаровыми основаниями и осями, параллельными направлению оси xn + 1 и l(A) равна n-мерному объёму осевого сечения цилиндра A\in\mathcal{U}, то соответствующая мера Хаусдорфа называется цилиндрической мерой.

Литература

  • Данфорд, Н., Шварц, Дж. Линейные операторы. Общая теория. — пер. с англ.. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — Т. 1. — 896 с. — ISBN 5-354-00601-5.

Примечания

  1. Hausdorff, F. Mathematische Annalen. — 1918. — Bd 79. — S. 157—179.

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Линейная мера" в других словарях:

  • ЛИНЕЙНАЯ МЕРА — мера длины. Линейная перспектива, правильное укорочение линий и очерков предмета, по законам перспективы. Линейный корабль, самый большой военный корабль. Линейные войска, регулярный войска. Линейная система. Пять параллельных линий, на которых… …   Словарь иностранных слов русского языка

  • Локоть линейная мера — (франц. Aune, нем. Elle, англ. Ell, датс. Alen, шведс. Aln, итал. Braccio) единица линейной меры, принадлежащая к числу мер, взятых из природы (см. Единицы мер). Эта мера принадлежит к числу старых, но местное ее употребление сохранилось доныне… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Локоть, линейная мера — (франц. Aune, нем. Elle, англ. Ell, датс. Alen, шведс. Aln, итал. Braccio) единица линейной меры, принадлежащая к числу мер, взятых из природы (см. Единицы мер). Эта мера принадлежит к числу старых, но местное ее употребление сохранилось доныне… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • ЛИНЕЙНАЯ ДИСТАНЦИЯ — (астр.). Действительное расстояние между двумя небесными телами. Линейная мера. Мера длины, служащая для измерения ширины, длины и высоты. Линейная перспектива. Часть математики, излагающая правила об относительной величине предметов, находящихся …   Словарь иностранных слов русского языка

  • ХААРА МЕРА — ненулевая положительная мера на кольце . подмножеств Елокально компактной группы G, порожденном семейством всех компактных подмножеств, принимающая конечные значения на всех компактных подмножествах в Gи удовлетворяющая либо условию… …   Математическая энциклопедия

  • Linear measure — Линейная мера; мера длины …   Краткий толковый словарь по полиграфии

  • Алаби — линейная мера, употребляемая на Кавказе, равняется аршину …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • дециметр —   линейная мера метрической системы = 0,1 метра = 10 сантиметрам = 3,937 дюйма 2,2497 вершка; узаконенное в СССР сокращенное обозначение дециметра: русское “дм”, латинское “dm” …   Справочный коммерческий словарь

  • километр —   линейная мера метрической системы = 1.000 метров = 0,62137 англ. мили = 0,93738 версты = 1406,074 аршин; узаконенное в СССР сокращенное обозначение километра: русское “км”, латинское “km” …   Справочный коммерческий словарь

  • метр —   линейная мера, положенная в основание всей метрической системы (см.); метр = 1,0936 ярда = 1,40607 аршина; узаконенное в СССР сокращенное обозначение метра: русское “м”, латинское “m” …   Справочный коммерческий словарь


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»