Плоская мера

Плоская мера

Мера Хаусдорфа — собирательное название класса мер, определённых на борелевской σ-алгебре \mathcal{B}(X) метрического пространства X.

Содержание

Определение

Ф. Хаусдорф рассматривал[1] некоторый класс \mathcal{U} открытых подмножеств X, на котором определил неотрицательную функцию l=\{l(A)\mid A\in\mathcal{U}\} и

\lambda(B,\;\varepsilon)=\inf\left\{\sum_{i=1}^n l(A_i)\right\},

где нижняя грань берётся по всем конечным или счётным покрытиям борелевского множества B\subset X множествами из \mathcal{U} с диаметром, не превосходящим \varepsilon, то есть

B\subset\bigcup_{i=1}^n A_i\in\mathcal{U}

и

\mathrm{diam}\,A_i\leqslant\varepsilon,\quad n=1,\;2,\;\ldots

Мерой Хаусдорфа λ, определяемой классом \mathcal{U} и функцией l, называется предел

\lambda(B)=\lim_{\varepsilon\to 0}\lambda(B,\;\varepsilon).

Примеры

  1. Пусть \mathcal{U} — совокупность всех шаров в X, a l(A)=(\mathrm{diam}\,A)^\alpha, где α > 0. Тогда соответствующая мера λ будет называться α-мерой Хаусдорфа. При α = 1 такая мера будет называться линейной мерой Хаусдорфа, а при α = 2 — плоской мерой Хаусдорфа.
  2. Если X=\R^{n+1}, \mathcal{U} — совокупность цилиндров с шаровыми основаниями и осями, параллельными направлению оси xn + 1 и l(A) равна n-мерному объёму осевого сечения цилиндра A\in\mathcal{U}, то соответствующая мера Хаусдорфа называется цилиндрической мерой.

Литература

  • Данфорд, Н., Шварц, Дж. Линейные операторы. Общая теория. — пер. с англ.. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — Т. 1. — 896 с. — ISBN 5-354-00601-5.

Примечания

  1. Hausdorff, F. Mathematische Annalen. — 1918. — Bd 79. — S. 157—179.

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Плоская мера" в других словарях:

  • Плоская печать — в полиграфии  способ печати, использующий формы, на которых печатающие и пробельные элементы расположены в одной плоскости и различаются лишь физико химическими свойствами. Основой для форм плоской печати, как правило, служат металлические… …   Википедия

  • Вариация отображения — Вариация отображения  числовая характеристика отображения, связанная с его дифференциальными свойствами. Понятие «вариация отображения» было определено С. Банахом[1]. Двухмерный случай Рассмотрим определение вариации отображения для… …   Википедия

  • Соединённые Штаты Америки — Соединенные Штаты Америки США, гос во в Сев. Америке. Название включает: геогр. термин штаты (от англ, state государство ), так в ряде стран называют самоуправляющиеся территориальные единицы; определение соединенные, т. е. входящие в федерацию,… …   Географическая энциклопедия

  • Франция* — (France, Frankreich). Расположение, границы, пространство. С севера Ф. омывает Немецкое море и Ла Манш, с запада Атлантический океан, с юго востока Средиземное море; на северо востоке она граничит с Бельгией, Люксембургом и Германией, на востоке… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Франция — I (France, Frankreich). Расположение, границы, пространство. С севера Ф. омывает Немецкое море и Ла Манш, с запада Атлантический океан, с юго востока Средиземное море; на северо востоке она граничит с Бельгией, Люксембургом и Германией, на… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • АР — (егип.). Коза. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. АР (франц. are, от лат. area плоская поверхность). Французская мера поверхности = 100 кв. метрам, около 22 кв. саженей. Словарь иностранных слов,… …   Словарь иностранных слов русского языка

  • Германия — I союз государств или союзное государство [Мы не останавливаемся решительно ни на одном из этих терминов (Staatenbund. Bundesstaat), потому что Герм. империя, как будет объяснено ниже не подходит вполне ни под тот, ни под другой] в средней Европе …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • КООРДИНАЦИОННОЕ ЧИСЛО — число ближайших к данному атому соседних атомов в кристаллической решётке (атомной структуре кристалла) или молекул в молекулярных кристаллах. Если центры этих ближайших соседей соединить друг с другом прямыми линиями, то получится плоская фигура …   Физическая энциклопедия

  • Капуста — (Brassica L.). Род растений из сем. крестоцветных (см.). Однолетние, двулетние и многолетние травы с перисто раздельными или лопастными листьями. Чашелистики растопыренные или приподнятые горизонтально; лепестки желтые или белые, иногда с… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • ОБУВЬ — служит для защиты ног (ступни и голени) от механических повреждении, про мачивания и охлаждения. Гигиенические требования, предъявляемые к О. заключаются в том, что: 1) О. не должна препятствовать естественному развитию стопы и должна… …   Большая медицинская энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»