Цилиндрическая мера

Цилиндрическая мера

Мера Хаусдорфа — собирательное название класса мер, определённых на борелевской σ-алгебре \mathcal{B}(X) метрического пространства X.

Содержание

Определение

Ф. Хаусдорф рассматривал[1] некоторый класс \mathcal{U} открытых подмножеств X, на котором определил неотрицательную функцию l=\{l(A)\mid A\in\mathcal{U}\} и

\lambda(B,\;\varepsilon)=\inf\left\{\sum_{i=1}^n l(A_i)\right\},

где нижняя грань берётся по всем конечным или счётным покрытиям борелевского множества B\subset X множествами из \mathcal{U} с диаметром, не превосходящим \varepsilon, то есть

B\subset\bigcup_{i=1}^n A_i\in\mathcal{U}

и

\mathrm{diam}\,A_i\leqslant\varepsilon,\quad n=1,\;2,\;\ldots

Мерой Хаусдорфа λ, определяемой классом \mathcal{U} и функцией l, называется предел

\lambda(B)=\lim_{\varepsilon\to 0}\lambda(B,\;\varepsilon).

Примеры

  1. Пусть \mathcal{U} — совокупность всех шаров в X, a l(A)=(\mathrm{diam}\,A)^\alpha, где α > 0. Тогда соответствующая мера λ будет называться α-мерой Хаусдорфа. При α = 1 такая мера будет называться линейной мерой Хаусдорфа, а при α = 2 — плоской мерой Хаусдорфа.
  2. Если X=\R^{n+1}, \mathcal{U} — совокупность цилиндров с шаровыми основаниями и осями, параллельными направлению оси xn + 1 и l(A) равна n-мерному объёму осевого сечения цилиндра A\in\mathcal{U}, то соответствующая мера Хаусдорфа называется цилиндрической мерой.

Литература

  • Данфорд, Н., Шварц, Дж. Линейные операторы. Общая теория. — пер. с англ.. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — Т. 1. — 896 с. — ISBN 5-354-00601-5.

Примечания

  1. Hausdorff, F. Mathematische Annalen. — 1918. — Bd 79. — S. 157—179.

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Цилиндрическая мера" в других словарях:

  • ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ МЕРА — 1) Ц. м. в теории меры в топологических векторных пространствах конечно аддитивная мера определенная на алгебре цилиндрических множеств в топологическом векторном пространстве Е, т. о. множеств вида где борелевская s алгебра подмножеств… …   Математическая энциклопедия

  • Баррель — (Barrel) Понятие баррель, виды барреля, ценовые рубежи барреля Информация о понятии баррель, виды барреля, ценовые рубежи барреля Содержание Содержание 1. . 1.1. Види барреля 1.2. Пивной баррель 1.3. Английский баррель 1.4. Баррель (американский… …   Энциклопедия инвестора

  • Основные — 1.    Основные положения системы сельской телефонной связи. М., ЦНИИС, 1974. 145 с. Источник: Руководство: Руководство по проектированию сети электросвязи в сельской местности 16. Основные положения по учету труда и заработной платы в… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • Интегральная геометрия —         раздел математики, в котором изучаются некоторые специальные числовые характеристики («меры») для множеств точек, прямых, плоскостей и др. геометрических объектов, вычисляемые, как правило, с помощью интегрирования. При этом «мера» должна …   Большая советская энциклопедия

  • Часы прибор для измерения времени — Содержание: 1) Исторический очерк развития часовых механизмов: а) солнечные Ч., b) водяные Ч., с) песочные Ч., d) колесные Ч. 2) Общие сведения. 3) Описание астрономических Ч. 4.) Маятник, его компенсация. 5) Конструкции спусков Ч. 6) Хронометры …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Часы — Содержание. 1) Исторический очерк развития часовых механизмов: а) солнечные Ч., b) водяные Ч., с) песочные Ч., d) колесные Ч. 2) Общие сведения. 3) Описание астрономических Ч. 4.) Маятник, его компенсация. 5) Конструкции спусков Ч. 6) Хронометры …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Пурка* — [Слово это, по всей вероятности, имеет происхождение общее со словом пура лифляндской мерой сыпучих тел, равной емкости 21 русских гарнцев. Названия же: скантал, скандал заимствованы из Италии (Scandella название одного сорта пшеницы).] (хлебные… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Пурка — [Слово это, по всей вероятности, имеет происхождение общее со словом пура лифляндской мерой сыпучих тел, равной емкости 21 русских гарнцев. Названия же: скантал, скандал заимствованы из Италии (Scandella название одного сорта пшеницы).] (хлебные… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • БЕССЕЛЕВ ПОТЕНЦИАЛ — потенциал вида где точки евклидова пространства борелевская мера на модифицированная цилиндрическая функция (или бесселева функция) 2 го рода порядка , или функция М …   Математическая энциклопедия

  • Мукомольное производство* — на современных больших промышленных мельницах представляет более или менее длинный ряд операций, производимых над хлебными зернами, с целью извлечения из них муки. Наиболее упрощенное производство муки, которое ведется на сельских мельницах,… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»