БЕРТРАНА ПРИЗНАК

сходимости числовых рядов с положительными членами: если

и существует предел (конечный лли бесконечный)

то при ряд сходится, а при - расходится. Установлен Ж. Бертраном (J. Bertrand).

Лит.:[1] Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 2, 7 изд., М., 1970.

Л. Д. Кудрявцев.

ВЕСКОАЛИЦИОННАЯ ИГРА - система

где - множество игроков, - множество стратегий -то игрока, - функция выигрыша -го игрока, определенная на декартовом произведении Б. и. разыгрывается следующим образом: игроки, действуя изолированно (не вступая в коалиции), выбирают свои стратегии , в результате чего складывается ситуация , в к-рой игрок получает выигрыш . Основным принципом оптимальности в Б. и. является принцип осуществимости цели (см. [1]), приводящий к ситуациям равновесия по Нэшу. Ситуация наз. ситуацией равновесия, если для всех справедливо неравенство

где . Таким образом, в одностороннем нарушении договора между игроками, соответствующего ситуации равновесия, не заинтересован ни один из игроков. Было доказано (теорема Н э ш а), что конечная Б. и. (множества конечны) обладает ситуацией равновесия в смешанных стратегиях. Имеются обобщения этой теоремы на бесконечные Б. и. с конечным числом игроков (см. [3]) и на Б. и. с бесконечным числом игроков (см. Неатомическая игра).

Ситуации равновесия наз. взаимозаменяемыми, если любая ситуация где или также равновесна. Они наз. эквивалентными, если для всех Пусть - множество всех ситуаций равновесия, - множество ситуаций равновесия, оптимальных по Парето (см. Арбитражная схема). Игра наз. разрешимой в смысле Н э ш а, а наз. решением по Нэшу, если все эквивалентны и взаимозаменяемы. Игра наз. строго разрешимой, если не пусто и все эквивалентны и взаимозаменяемы. Антагонистические игры, обладающие оптимальными стратегиями, разрешимы в смысле Нэша и строго разрешимы; однако в общем случае такая разрешимость возможна далеко не всегда.

Имеются другие попытки дополнения принципа осуществимости цели. Так, было предложено (см. [4]) решением Б. и. считать единственную ситуацию равновесия или максиминную ситуацию (выигрыши в последней ситуации каждый из игроков может себе гарантировсть независимо от выбора стратегий остальными игроками), выбор к-рой основан на введении нового отношения предпочтения на множестве ситуаций. Иным подходом к определению решения Б. и. является предположение о субъективном прогнозе поведения игроков (см. [5]).

Лит.: [1] Воробьев Н. Н., "Успехи матем. наук", 1970, т. 25, № 2 (152), с. 81-140; [2] Нэш Д ж., в сб.: Матричные игры, М., 1961, с. 205-21; [3] Гликсберг И. Л., в сб.: Бесконечные антагонистические игры, М., 1963, с. 497- 503; [4] Наrsanуi J. С., в кн.: Advances in game theory, Princeton (N. Y.), 1964, p. 651-79; [5] Вилкас Э. И., "Теория вероят: и ее примен.", 1968, т. 13, в. 3, с. 555-6.1.

Э. И. Вилкас, Е. Б. Яновская.