ЛИ НИЛЬПОТЕНТНАЯ ГРУППА


ЛИ НИЛЬПОТЕНТНАЯ ГРУППА

группа Ли, пильпотентная как абстрактная группа. Абелева группа Ли нильпотентна. Если - флаг в конечномерном векторном пространстве Vнад полем К, то

будет нильпотентной алгебраич. группой над А; в базисе, согласованном с флагом F, ее элементы представляются верхними треугольными матрицами с единицами на главной диагонали. Если F - полный флаг (т. е. dim Vk = k), то соответствующая N(F).матричная Ли н. г. N( п, k).состоит из всех матриц порядка n=dim Vуказанного выше вида.

Если К - полное нормированное поле, то N(F) - Ли н. г. над К. Ее алгеброй Ли служит (см. Ли нильпотентная алгебра). Вообще, алгебра Ли группы Ли G над полем Кхарактеристики 0 нильпотентна тогда и только тогда, когда нильпотентна связная компонента единицы G0 группы G. Это позволяет перенести на Ли н. г. свойства нильпотентных алгебр Ли (см. [2], [4], [5]). Групповой вариант теоремы Энгеля при этом допускает следующее усиление (теорема К о л ч и н а): если G - подгруппа в GL(V), где V - конечномерное векторное пространство над произвольным полем К, а каждый унипотентен, то существует такой полный флаг Fв F, что (при этом Gавтоматически оказывается нильпотентной) (см. [3]).

Ли н. г., разрешимы, поэтому свойства Ли разрешимых групп переносятся и на них, причем часто в усиленной форме, ибо всякая Ли н. г. треугольна. Связная группа Ли G нильпотентна тогда и только тогда, когда в канонич. координатах ( см. Ли группа).групповая операция в Gзаписывается полиномиально [4]. Всякая односвязная вещественная Ли н. г. Gизоморфна алгебраич. группе, более того - алгебраич. подгруппе в При этом точное представление группы G в можно выбрать так, чтобы группа автоморфизмов Aut G вкладывалась в - нормализатор образа группы G [см. [1]).

Если G - связная матричная вещественная Ли н. г., то она разлагается в прямое произведение компактной абелевой и односвязной групп Ли. Связная линейная алгебраич. группа G над полем характеристики 0 разлагается в прямое произведение абелева нормального делителя, состоящего из полупростых элементов, и нормального делителя, состоящего из унипотентных элементов [5].

Ранее Ли н. г. наз. специальными группами Ли, или группами Ли ранга 0. В теории представлений полупростых групп Ли при изучении дискретных подгрупп в таких группах существенно используются орисферич. группы Ли, являющиеся Ли н. г.

Лит.:[1] Birkhoff G., "Ann. Math.", 1937, v. 38, p. 526-32; [2] Б у р б а к и Н., Группы и алгебры Ли. Алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли, пер. с франц., М., 1976; [3] С е р р Ж.-П., Алгебры Ли и группы Ли, пер. с англ. и франц., М., 1969; [4] Хелгасон С., Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964; [5] Ш е в а л л е К., Теория групп Ли, пер. с франц., т. 3, М., 1958. В. В. Горбацееич.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ЛИ НИЛЬПОТЕНТНАЯ ГРУППА" в других словарях:

  • Нильпотентная группа — естественное обобщение понятия абелева группа. Нильпотентные группы встречаются в теории Галуа, а также в работах по классификации групп. Они, кроме того, играют заметную роль в классификации групп Ли. Аналогичные понятия определяются для алгебр… …   Википедия

  • НИЛЬПОТЕНТНАЯ ГРУППА — группа, обладающая нормальным рядом таким, что каждый его фактор лежит в центре факторгруппы (такой ряд наз. центральным). Длина наиболее короткого центрального ряда Н. г. наз. ее классом (или ступенью) нильпотентности. В любой Н. г. нижний (а… …   Математическая энциклопедия

  • Свободная нильпотентная группа — Нильпотентная группа ― группа G обладающая центральным рядом, то есть нормальным рядом Gi таким, что каждый его фактор Gi / Gi + 1 лежит в центре факторгруппы G / Gi + 1. Связанные определения Длина наиболее короткого центрального ряда… …   Википедия

  • ЛОКАЛЬНО НИЛЬПОТЕНТНАЯ ГРУППА — группа, каждая конечно порожденная подгруппа к рой нильпотентна (см. Нильпотентная группа). В Л. н. г. все элементы конечного порядка образуют нормальную подгруппу, являющуюся периодич. частью этой группы. Эта подгруппа разлагается в прямое… …   Математическая энциклопедия

  • ОБОБЩЕННО НИЛЬПОТЕНТНАЯ ГРУППА — группа одного из обобщенно нильпотентных классов групп. Класс групп наз. обобщенно нильпотентным, если он содержит все нильпотентные группы и пересекается с классом конечных групп по классу всех конечных нильпотентных групп. Рассматривалось… …   Математическая энциклопедия

  • ГРУППА ВЕЗ КРУЧЕНИЯ — группа, не имеющая элементов конечного порядка. Свободная, свободная разрешимая, свободная нильпотентная и свободная абе лева группы суть Г. б. к. Прямое, полное прямое и свободное произведения Г. б. к. суть Г. б. к. Факторгруппа Г. б. к. Gпо ее… …   Математическая энциклопедия

  • НИЛЬПОТЕНТНАЯ ПОЛУГРУППА — полугруппа Sс нулем, для к рой существует такое п, что ; это эквивалентно выполнению в S тождества Наименьшее для данной полугруппы число пс указанным свойством наз. ступенью (иногда классом) нильпотентности Н. п. Если , то Sназ. полугруппой с… …   Математическая энциклопедия

  • ЛИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ГРУППА — группа Ли типа (Е), вещественная конечномерная группа Ли G, для к рой экспоненциальное отображение ехр: где алгебра Ли группы G, является диффеоморфизмом. Любая Ли э. г. разрешима, односвязна, а ее алгебра Ли является Ли экспоненциальной алгеброй …   Математическая энциклопедия

  • ЭНГЕЛЕВА ГРУППА — группа G, в к рой для любых двух элементов существует такое целое п=п( а, b), что [[. . .[[a, b], b], . ..], b] = 1, где [ а, b] коммутатор элементов a и b. Если это число пможно выбрать не зависящим от а, b, то G наз. Э. г. конечного класса п.… …   Математическая энциклопедия

  • Конечно определенная группа — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.