ЛИ НИЛЬПОТЕНТНАЯ АЛГЕБРА

- алгебра Ли Д над полем К, удовлетворяющая одному из следующих эквивалентных условий:

1) существует конечная убывающая цепочка идеалов алгебры таких, что

2) (аналогично ) для достаточно большого k, где - члены соответственно нижнего и верхнего центральных рядов;

3) существует такое k, что аd x₁ ... ad х _k = 0 для любых

Абелева алгебра нильпотентна. Если F - конечномерное векторное пространство над К, а - флаг в нем, то

является нильпотентной подалгеброй в алгебре Ли всех линейных преобразований пространства V. Если в Vвыбрать базис, согласованный с флагом F, то в нем элементы алгебры представятся верхними треугольными матрицами с нулями на главной диагонали. Если F - полный флаг (т. е. dim V_k=k), то соответствующая матричная Ли н. а. состоит из всех верхних треугольных матриц порядка m= dim Vс нулями на главной диагонали.

Для любой неодномерной Ли н. а. коразмерность ее коммутатора В частности, если dim то абелева. Единственная неабелева трехмерная Ли н. а. изоморфна Ли н. а. перечислены еще в нескольких малых размерностях (для dim при ), но общего подхода к их классификации пока (1982) нет.

Ли н. а. (ранее их называли специальными алгебрами Ли, или алгебрамиЛи ранга 0) встретились уже на первых тагах исследований С. Ли (S. Lie) по интегрированию дифференциальных уравнений. Классификация Ли разрешимых алгебр сведена в нек-ром смысле к перечислению Ли н. а. В произвольной конечномерной алгебре Ли существует наибольший нильпотентный идеал (нильрадикал в терминологии [2]). Рассматривается и другой нильпотентный идеал - пересечение ядер неприводимых конечномерных представлений (нильпотентный радикал) (см. [1], [4]). Если - радикал алгебры то нильпотентный радикал совпадает с

Факторалгебра редуктивна и есть минимальный из идеалов, обладающих этим свойством. В случае char K = 0 нильрадикал состоит из всех таких что ad xнильпотентен.

При изучении редуктивной алгебры Ли над С естественно возникают ее нильпотентные подалгебры, являющиеся нильпотентными радикалами в параболических подалгебрах алгебры В случае эти нильпотентные подалгебры совпадают с рассмотренными выше подалгебрами Нильпотентный радикал борелевской подалгебры (см. Бореля подгруппа).в есть максимальная подалгебра в состоящая из нильпотентных элементов, - единственная с точностью до сопряженности. Более широкий класс Ли н. а. образуют произвольные идеалы параболич. подалгебр алгебры состоящие из нильпотентных элементов. В случае эти Ли н. а. были классифицированы в [6] (стандартные нуль-алгебры), а в общем случае в [7].

Центр Ли н. а. нетривиален и любая Ли н. а. может быть получена рядом центральных расширений с помощью Ли н. а. Класс Ли н. а. замкнут относительно перехода к подалгебре, факторалгебре, центральному расширению и конечной прямой сумме. В частности, любая подалгебра в нильпотентна. Обратно, произвольная конечномерная Ли н. а. изоморфна подалгебре в при нек-ром т(если char K=0) - это частный случай теоремы Адо (см. [1], [2]).

Если - произвольная конечномерная алгебра Ли, то любой ее нильпотентный идеал ортогонален ей относительно Киллинга формы, в частности для Ли н. а. эта форма тривиальна.

Одной из основных в теории Ли н. а. является теорема Энгеля: если - конечномерное представление Ли нильпотентной алгебры причем нильпотентно для любого то существует такой полный флаг F, что Из теоремы Энгеля следует, что конечномерная алгебра Ли нильпотентна тогда и только тогда, когда при нек-ром пи всех т. е. когда любой является нильпотентным элементом.

В теореме Энгеля содержится описание нильпотентных представлений Ли н. а.; описание произвольных конечномерных представлений принадлежит X. Цас-сенхаузу (Н. Zassenhaus, см. [2]): если поле Калгебраически замкнуто, а V - конечномерный -модуль, то где подмодули V_i таковы, что ограничение действия любого на них есть сумма скалярного и нилыютентного операторов. Если V- конечномерное векторное пространство над полем Кхарактеристики 0, то любая алгебраическая Ли н. а. имеет вид где и - идеалы, состоящие соответственно из полупростых и нильпотентных линейных преобразований, принадлежащих алгебре [5].

Лит.:[1] Б у р б а к и Н., Группы и алгебры Ли. Алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли, пер. с франц., М., 1976; [2] Джекобсон Н., Алгебры Ли, пер. с англ., М., 1964; [3] С е р р Ж.-П., Алгебры Ли и группы Ли, пер. с англ. и франц., М., 1969; [4] Теория алгебр Ли. Топология групп Ли. Семинар "Софус Ли", пер. с франц., М., 1961; [5] Шевалле К., Теория групп Ли, пер. с франц., т. 3, М., 1958; [6] Гуревич Г. Б., "Матем. сб.", 1954, т. 35, с. 437 - 60; [7] Хакимджанов Ю. Б., "Вести. Моск. ун-та. Матем., механ.", 1974, № 6, с. 49-55. В. В. Горбацевич.