Основная теорема римановой геометрии

Свя́зность Ле́ви-Чиви́ты или связность, ассоциированная с метрикой — аффинная связность с нулевым кручением на римановом (или псевдоримановом) многообразии M, относительно которой метрический тензор ковариантно постоянен.

То есть аффинная связность $\nabla$ на римановом многообразии $(M,\;g)$ называется связностью Леви-Чивиты, если для неё выполнены следующие два условия:

1. (римановость) для любых векторных полей X, Y, Z верно
        $X(g(Y,\;Z))=g(\nabla_X Y,\;Z)+g(Y,\;\nabla_X Z)$,
   где $X(g(Y,\;Z))$ обозначает производную g(Y,Z) в направлении X.
2. (отсутствие кручения) для любых векторных полей X и Y
        $\nabla_XY-\nabla_YX-[X,\;Y]=0$,
   где $[X,\;Y]$ скобки Ли векторных полей X и Y.

Названа в честь итальянского математика Туллио Леви-Чивиты.

Связанные определения

• Аффинная связность, для которой выполняется только условие римановости, называется римановой связностью.

Свойства

• Любое риманово (и псевдориманово) многообразие обладает единственной связностью Леви-Чивиты; это утверждение иногда называется основной теоремой римановой геометрии.

См. также

• Ковариантная производная
• Ковариантное дифференцирование
• Символы Кристоффеля.