Оператор набла в различных системах координат

Здесь приведён список векторных дифференциальных операторов в некоторых системах координат.

Таблица операторов

Здесь используются стандартные физические обозначения. Для сферических координат, θ обозначает угол между осью z и радиус-вектором точки, φ — угол между проекцией радиус-вектора на плоскость x-y и осью x.

Запись оператора Гамильтона в различных системах координат

Оператор	Прямоугольные координаты (x, y, z)	Цилиндрические координаты (ρ, φ, z)	Сферические координаты (r, θ, φ)	Параболические координаты (σ, τ, z)
Формулы преобразования координат	$\begin{matrix} \rho & = & \sqrt{x^2+y^2} \\ \varphi & = & \operatorname{arctg}(y/x) \\ z & = & z \end{matrix}$	$\begin{matrix} x & = & \rho\cos\varphi \\ y & = & \rho\sin\varphi \\ z & = & z \end{matrix}$	$\begin{matrix} x & = & r\sin\theta\cos\varphi \\ y & = & r\sin\theta\sin\varphi \\ z & = & r\cos\theta \end{matrix}$	$\begin{matrix} x & = & \sigma \tau\\ y & = & \frac{1}{2} \left( \tau^{2} - \sigma^{2} \right) \\ z & = & z \end{matrix}$
	$\begin{matrix} r & = & \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}} \\ \theta & = & \arccos \left( z/r \right) \\ \varphi & = & \operatorname{arctg}(y/x) \\ \end{matrix}$	$\begin{matrix} r & = & \sqrt{\rho^2 + z^2} \\ \theta & = & \operatorname{arctg}{(\rho/z)}\\ \varphi & = & \varphi \end{matrix}$	$\begin{matrix} \rho & = & r\sin{\theta} \\ \varphi & = & \varphi\\ z & = & r\cos{\theta} \end{matrix}$	$\begin{matrix} \rho\cos\varphi & = & \sigma \tau\\ \rho\sin\varphi & = & \frac{1}{2} \left( \tau^{2} - \sigma^{2} \right) \\ z & = & z \end{matrix}$
Радиус-вектор произвольной точки	$x\mathbf{\hat x} + y\mathbf{\hat y} + z\mathbf{\hat z}$	$\rho\boldsymbol{\hat \rho} + z\boldsymbol{\hat z}$	$r\boldsymbol{\hat r}$	?
Связь единичных векторов	$\begin{matrix} \boldsymbol{\hat\rho} & = & \frac{x}{\rho}\mathbf{\hat x}+\frac{y}{\rho}\mathbf{\hat y} \\ \boldsymbol{\hat\varphi} & = & -\frac{y}{\rho}\mathbf{\hat x}+\frac{x}{\rho}\mathbf{\hat y} \\ \mathbf{\hat z} & = & \mathbf{\hat z} \end{matrix}$	$\begin{matrix} \mathbf{\hat x} & = & \cos\varphi\boldsymbol{\hat\rho}-\sin\varphi\boldsymbol{\hat\varphi} \\ \mathbf{\hat y} & = & \sin\varphi\boldsymbol{\hat\rho}+\cos\varphi\boldsymbol{\hat\varphi} \\ \mathbf{\hat z} & = & \mathbf{\hat z} \end{matrix}$	$\begin{matrix} \mathbf{\hat x} & = & \sin\theta\cos\varphi\boldsymbol{\hat r}+\cos\theta\cos\varphi\boldsymbol{\hat\theta}-\sin\varphi\boldsymbol{\hat\varphi} \\ \mathbf{\hat y} & = & \sin\theta\sin\varphi\boldsymbol{\hat r}+\cos\theta\sin\varphi\boldsymbol{\hat\theta}+\cos\varphi\boldsymbol{\hat\varphi} \\ \mathbf{\hat z} & = & \cos\theta \boldsymbol{\hat r}-\sin\theta \boldsymbol{\hat\theta} \\ \end{matrix}$	$\begin{matrix} \boldsymbol{\hat \sigma} & = & \frac{\tau}{\sqrt{\tau^2+\sigma^2}}\mathbf{\hat x}-\frac{\sigma}{\sqrt{\tau^2+\sigma^2}}\mathbf{\hat y} \\ \boldsymbol{\hat\tau} & = & \frac{\sigma}{\sqrt{\tau^2+\sigma^2}}\mathbf{\hat x}+\frac{\tau}{\sqrt{\tau^2+\sigma^2}}\mathbf{\hat y} \\ \mathbf{\hat z} & = & \mathbf{\hat z} \end{matrix}$
	$\begin{matrix} \mathbf{\hat r} & = & \frac{x\mathbf{\hat x}+y\mathbf{\hat y}+z\mathbf{\hat z}}{r} \\ \boldsymbol{\hat\theta} & = & \frac{xz\mathbf{\hat x}+yz\mathbf{\hat y}-\rho^2\mathbf{\hat z}}{r \rho} \\ \boldsymbol{\hat\varphi} & = & \frac{-y\mathbf{\hat x}+x\mathbf{\hat y}}{\rho} \end{matrix}$	$\begin{matrix} \mathbf{\hat r} & = & \frac{\rho}{r}\boldsymbol{\hat \rho}+\frac{ z}{r}\mathbf{\hat z} \\ \boldsymbol{\hat\theta} & = & \frac{z}{r}\boldsymbol{\hat \rho}-\frac{\rho}{r}\mathbf{\hat z} \\ \boldsymbol{\hat\varphi} & = & \boldsymbol{\hat\varphi} \end{matrix}$	$\begin{matrix} \boldsymbol{\hat \rho} & = & \sin\theta\mathbf{\hat r}+\cos\theta\boldsymbol{\hat\theta} \\ \boldsymbol{\hat\varphi} & = & \boldsymbol{\hat\varphi} \\ \mathbf{\hat z} & = & \cos\theta\mathbf{\hat r}-\sin\theta\boldsymbol{\hat\theta} \\ \end{matrix}$	$\begin{matrix} \end{matrix}$
Векторное поле $\mathbf{A}$	$A_x\mathbf{\hat x} + A_y\mathbf{\hat y} + A_z\mathbf{\hat z}$	$A_\rho\boldsymbol{\hat \rho} + A_\varphi\boldsymbol{\hat \varphi} + A_z\boldsymbol{\hat z}$	$A_r\boldsymbol{\hat r} + A_\theta\boldsymbol{\hat \theta} + A_\varphi\boldsymbol{\hat \varphi}$	$A_\sigma\boldsymbol{\hat \sigma} + A_\tau\boldsymbol{\hat \tau} + A_\varphi\boldsymbol{\hat z}$
Градиент $\nabla f$	${\partial f \over \partial x}\mathbf{\hat x} + {\partial f \over \partial y}\mathbf{\hat y} + {\partial f \over \partial z}\mathbf{\hat z}$	${\partial f \over \partial \rho}\boldsymbol{\hat \rho} + {1 \over \rho}{\partial f \over \partial \varphi}\boldsymbol{\hat \varphi} + {\partial f \over \partial z}\boldsymbol{\hat z}$	${\partial f \over \partial r}\boldsymbol{\hat r} + {1 \over r}{\partial f \over \partial \theta}\boldsymbol{\hat \theta} + {1 \over r\sin\theta}{\partial f \over \partial \varphi}\boldsymbol{\hat \varphi}$	$\frac{1}{\sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}}} {\partial f \over \partial \sigma}\boldsymbol{\hat \sigma} + \frac{1}{\sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}}} {\partial f \over \partial \tau}\boldsymbol{\hat \tau} + {\partial f \over \partial z}\boldsymbol{\hat z}$
Дивергенция $\nabla \cdot \mathbf{A}$	${\partial A_x \over \partial x} + {\partial A_y \over \partial y} + {\partial A_z \over \partial z}$	${1 \over\rho}{\partial \left(\rho A_\rho \right) \over \partial \rho} + {1 \over\rho}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi} + {\partial A_z \over \partial z}$	${1 \over r^2}{\partial \left( r^2 A_r \right) \over \partial r} + {1 \over r\sin\theta}{\partial \over \partial \theta} \left( A_\theta\sin\theta \right) + {1 \over r\sin\theta}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}$	$\frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}}{\partial A_\sigma \over \partial \sigma} + \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}}{\partial A_\tau \over \partial \tau} + {\partial A_z \over \partial z}$
Ротор $\nabla \times \mathbf{A}$	$\begin{matrix} \left({\partial A_z \over \partial y} - {\partial A_y \over \partial z}\right) \mathbf{\hat x} & + \\ \left({\partial A_x \over \partial z} - {\partial A_z \over \partial x}\right) \mathbf{\hat y} & + \\ \left({\partial A_y \over \partial x} - {\partial A_x \over \partial y}\right) \mathbf{\hat z} & \ \end{matrix}$	$\begin{matrix} \left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_z}{\partial \varphi} - \frac{\partial A_\varphi}{\partial z}\right) \boldsymbol{\hat \rho} & + \\ \left(\frac{\partial A_\rho}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial \rho}\right) \boldsymbol{\hat \varphi} & + \\ \frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial (\rho A_\varphi) }{\partial \rho} - \frac{\partial A_\rho}{\partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat z} & \ \end{matrix}$	$\begin{matrix} {1 \over r\sin\theta}\left({\partial \over \partial \theta} \left( A_\varphi\sin\theta \right) - {\partial A_\theta \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat r} & + \\ {1 \over r}\left({1 \over \sin\theta}{\partial A_r \over \partial \varphi} - {\partial \over \partial r} \left( r A_\varphi \right) \right) \boldsymbol{\hat \theta} & + \\ {1 \over r}\left({\partial \over \partial r} \left( r A_\theta \right) - {\partial A_r \over \partial \theta}\right) \boldsymbol{\hat \varphi} & \ \end{matrix}$	$\begin{matrix} \left(\frac{1}{\sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}}}{\partial A_z \over \partial \tau} - {\partial A_\tau \over \partial z}\right) \boldsymbol{\hat \sigma} & - \\ \left(\frac{1}{\sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}}}{\partial A_z \over \partial \sigma}- {\partial A_\sigma \over \partial z}\right) \boldsymbol{\hat \tau} & + \\ \frac{1}{\sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}}}\left({\partial \left( s A_\varphi \right) \over \partial s} - {\partial A_s \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat z} & \ \end{matrix}$
Оператор Лапласа $\Delta f = \nabla^2 f$	${\partial^2 f \over \partial x^2} + {\partial^2 f \over \partial y^2} + {\partial^2 f \over \partial z^2}$	${1 \over\rho}{\partial \over \partial\rho}\left(\rho {\partial f \over \partial \rho}\right) + {1 \over\rho^2}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2} + {\partial^2 f \over \partial z^2}$	${1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\!\left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right) \!+\!{1 \over r^2\!\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\!\left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right) \!+\!{1 \over r^2\!\sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2}$	$\frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}} \left( \frac{\partial^{2} f}{\partial \sigma^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial \tau^{2}} \right) + \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}$
Лапласиан (англ.) векторной функции $\Delta \mathbf{A} = \nabla^2 \mathbf{A}$	$\Delta A_x \mathbf{\hat x} + \Delta A_y \mathbf{\hat y} + \Delta A_z \mathbf{\hat z}$	$\begin{matrix} \left(\Delta A_\rho - {A_\rho \over \rho^2} - {2 \over \rho^2}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat \rho} & + \\ \left(\Delta A_\varphi - {A_\varphi \over \rho^2} + {2 \over \rho^2}{\partial A_\rho \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat\varphi} & + \\ \left(\Delta A_z \right) \boldsymbol{\hat z} & \ \end{matrix}$	$\begin{matrix} \left(\Delta A_r - {2 A_r \over r^2} - {2 \over r^2\sin\theta}{\partial \left(A_\theta \sin\theta\right) \over \partial\theta} - {2 \over r^2\sin\theta}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat r} & + \\ \left(\Delta A_\theta - {A_\theta \over r^2\sin^2\theta} + {2 \over r^2}{\partial A_r \over \partial \theta} - {2 \cos\theta \over r^2\sin^2\theta}{\partial A_\varphi \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat\theta} & + \\ \left(\Delta A_\varphi - {A_\varphi \over r^2\sin^2\theta} + {2 \over r^2\sin\theta}{\partial A_r \over \partial \varphi} + {2 \cos\theta \over r^2\sin^2\theta}{\partial A_\theta \over \partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat\varphi} & \end{matrix}$	?
Элемент длины	$d\mathbf{l} = dx\mathbf{\hat x} + dy\mathbf{\hat y} + dz\mathbf{\hat z}$	$d\mathbf{l} = d\rho\boldsymbol{\hat\rho} + \rho d\varphi\boldsymbol{\hat\varphi} + dz\boldsymbol{\hat z}$	$d\mathbf{l} = dr\mathbf{\hat r} + rd\theta\boldsymbol{\hat \theta} + r\sin\theta d\varphi\boldsymbol{\hat \varphi}$	$d\mathbf{l} = \sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}} d\sigma\boldsymbol{\hat \sigma} + \sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}} d\tau\boldsymbol{\hat \tau} + dz\boldsymbol{\hat z}$
Элемент ориентированной площади	$\begin{matrix}d\mathbf{S} = &dy\,dz\,\mathbf{\hat x} + \\ &dx\,dz\,\mathbf{\hat y} + \\ &dx\,dy\,\mathbf{\hat z}\end{matrix}$	$\begin{matrix} d\mathbf{S} = & \rho\, d\varphi\, dz\,\boldsymbol{\hat \rho} + \\ & d\rho \,dz\,\boldsymbol{\hat \varphi} + \\ & \rho\,d\rho d\varphi \,\mathbf{\hat z} \end{matrix}$	$\begin{matrix} d\mathbf{S} = & r^2 \sin\theta \,d\theta \,d\varphi \,\mathbf{\hat r} + \\ & r\sin\theta \,dr\,d\varphi \,\boldsymbol{\hat \theta} + \\ & r\,dr\,d\theta\,\boldsymbol{\hat \varphi} \end{matrix}$	$\begin{matrix} d\mathbf{S} = & \sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}}, d\tau\, dz\,\boldsymbol{\hat \sigma} + \\ & \sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}} d\sigma\,dz\,\boldsymbol{\hat \tau} + \\ & \sigma^{2} + \tau^{2} d\sigma, d\tau \,\mathbf{\hat z} \end{matrix}$
Элемент объёма	$d\tau = dx\,dy\,dz \,$	$d\tau = \rho\, d\rho\, d\varphi\, dz\,$	$d\tau = r^2\sin\theta \,dr\,d\theta\, d\varphi\,$	$d\tau = \left( \sigma^{2} + \tau^{2} \right) d\sigma d\tau dz,$

Некоторые свойства

Выражения для операторов второго порядка:

1. $\mathrm{div\ grad}\; f = \nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f = \Delta f$ (Оператор Лапласа)
2. $\mathrm{rot\ grad}\; f = \nabla \times (\nabla f) = 0$
3. $\mathrm{div\ rot}\; \mathbf{A} = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0$
4. $\mathrm{rot\ rot}\; \mathbf{A} = \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^2 \mathbf{A}$

(используя формулу Лагранжа для двойного векторного произведения)

1. $\Delta f g = f \Delta g + 2 \nabla f \cdot \nabla g + g \Delta f$

См. также

• Ортогональные координаты
• Криволинейные координаты
• Метод координат
• Векторные поля в цилиндрической и сферической системах координат (англ.)