КОВАРИАНТНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ

- обобщение понятия производной для полей различных геометрических объектов на многообразиях - векторов, тензоров, форм и т. д. Это - линейный оператор С _X, действующий на модуле тензорных полей данной валентности и определяемый по векторному полю Xна многообразииМследующими свойствами:

где f, g- дифференцируемые функции на М. По линейности это отображение распространяется на алгебру тензорных полей, причем для тензорного произведения тензоров Uи V:

Таким образом, отображение С _X является дифферен цированием алгебры тензорных полей; оно обладает дополнительными свойствами перестановочности с операциями свертки, альтернирования и симметрирования тензоров.

Свойства 1) и 2) отображения С _X позволяют ввести на Млинейную связность (и соответствующее параллельное перенесение) и на ее основе дать локальное определение К. п., к-рая, будучи распространенной на все многообразие, совпадает с определенным здесь оператором С _X; cм. также Ковариантное дифференцирование.

И. X. Сабитов.