Принцип наименьшего действия

При́нцип наиме́ньшего де́йствия Гамильто́на (также просто принцип Гамильтона), точнее при́нцип стациона́рности де́йствия — способ получения уравнений движения физической системы при помощи поиска стационарного (часто — экстремального, обычно, в связи со сложившейся традицией определения знака действия, наименьшего) значения специального функционала — действия. Назван в честь Уильяма Гамильтона, использовавшего этот принцип для построения так называемого гамильтонова формализма в классической механике.

Принцип стационарности действия — наиболее важный среди семейства экстремальных принципов. Не все физические системы имеют уравнения движения, которые можно получить из этого принципа, однако все фундаментальные взаимодействия ему подчиняются, в связи с чем этот принцип является одним из ключевых положений современной физики. Получаемые с его помощью уравнения движения имеют название уравнений Эйлера — Лагранжа.

Первую формулировку принципа дал П. Мопертюи (P. Maupertuis) в 1744 году, сразу же указав на его универсальную природу, считая его приложимым к оптике и механике. Из данного принципа он вывел законы отражения и преломления света.

История

Принцип наименьшего действия был сначала сформулирован Мопертюи^[1] в 1746 году и далее развивался (после 1748 года) математиками Эйлером, Лагранжем и Гамильтоном.

Мопертюи пришёл к этому принципу из ощущения, что совершенство Вселенной требует определенной экономии в природе и противоречит любым бесполезным расходам энергии. Естественное движение должно быть таким, чтобы сделать некоторую величину минимальной. Нужно было только найти эту величину, что он и продолжал делать. Она являлась произведением продолжительности (время) движения в пределах системы на удвоенную величину, которую мы теперь называем кинетической энергией системы.

Эйлер (в «Réflexions sur quelques loix générales de la nature», 1748) принимает принцип наименьшего количества действия, называя действие «усилием». Его выражение в статике соответствует тому, что мы теперь назвали бы потенциальной энергией, так что его утверждение наименьшего действия в статике эквивалентно условию минимума потенциальной энергии для конфигурации равновесия.

В классической механике

Принцип наименьшего действия служит фундаментальной и стандартной основой лагранжевой и гамильтоновой формулировок механики.

Вначале рассмотрим построение таким образом лагранжевой механики. На примере физической системы с одной^[2] степенью свободы, напомним, что действие — это функционал относительно (обобщенных) координат (в случае одной степени свободы - одной координаты $q(t)$), то есть выражается через $q(t)$ так, что каждому мыслимому варианту функции $q(t)$ сопоставляется некоторое число - действие (в этом смысле можно сказать, что действие как функционал есть правило, позволяющее для любой заданной функции $q(t)$ вычислить вполне определенной число - также называемое действием). Действие имеет вид:

$S[q] = \int \mathcal{L}(q(t),\dot{q}(t),t) dt,$

где $\mathcal{L}(q(t),\dot{q}(t),t)$ есть лагранжиан системы, зависящий от обобщённой координаты $q$, её первой производной по времени $\dot{q}$, а также, возможно, и явным образом от времени $t$. Если система имеет большее число степеней свободы $n$, то лагранжиан зависит от большего числа обобщённых координат $q_i(t),\ i=1,2,\dots,n$ и их первых производных по времени. Таким образом, действие является скалярным функционалом, зависящим от траектории тела.

То, что действие является скаляром, позволяет легко записать его в любых обобщенных координатах, главное только, чтобы положение (конфигурация) системы однозначно ими характеризовалось (например, вместо декартовых это могут быть полярные координаты, расстояния между точками системы, углы или их функции и т. д.).

Действие можно вычислить для совершенно произвольной траектории $q(t)$, какой бы «дикой» и «неестественной» она бы ни была. Однако в классической механике среди всего набора возможных траекторий существует одна-единственная, по которой тело действительно пойдёт. Принцип стационарности действия как раз и даёт ответ на вопрос, как действительно будет двигаться тело:

между двумя заданными точками тело движется так, чтобы действие было стационарным.

Это значит, что если задан лагранжиан системы, то мы с помощью вариационного исчисления можем установить, как именно будет двигаться тело, сначала получив уравнения движения — уравнения Эйлера — Лагранжа, а затем решив их. Это позволяет не только серьёзно обобщить формулировку механики, но и выбирать наиболее удобные координаты для каждой определенной задачи, не ограничиваясь декартовыми, что может быть очень полезно для получения наиболее простых и легко решаемых уравнений.

Аналогично гамильтонова механика получается из принципа наименьшего действия. Действие в этом случае наиболее естественно записать^[3] как

$S[p,q] = \int \big(\sum_i p_i dq_i - \mathcal{H}(q,p,t)dt\big) = \int \big(\sum_i p_i \dot q_i -\mathcal{H}(q,p,t)\big) dt,$

где $\mathcal{H}(q,p,t) \equiv \mathcal{H}(q_1, q_2,\dots,q_N, p_1, p_2, \dots, p_N,t)$ — функция Гамильтона данной системы; $q \equiv q_1, q_2, \dots, q_N$ — (обобщенные) координаты, $p \equiv p_1, p_2, \dots, p_N$ — сопряженные им (обобщенные) импульсы, характеризующие вместе в каждый данный момент времени динамическое состояние системы и, являясь каждое функцией времени, характеризуя, таким образом, эволюцию (движение) системы. В этом случае для получения уравнений движения системы в форме канонических уравнений Гамильтона надо проварьировать записанное так действие независимо по всем $q_i$ и $p_i$.

Необходимо заметить, что если из условий задачи принципиально можно найти закон движения, то это автоматически не означает, что можно построить функционал, принимающий стационарное значение при истинном движении. Примером может служить совместное движение электрических зарядов и монополей — магнитных зарядов — в электромагнитном поле. Их уравнения движения невозможно вывести из принципа стационарности действия. Аналогично некоторые гамильтоновы системы имеют уравнения движения, не выводимые из этого принципа.

Примеры

Тривиальные примеры помогают оценивать использование принципа действия через уравнения Эйлера-Лагранжа. Свободная частица (масса m и скорость v) в Евклидовом пространстве перемещается по прямой линии. Используя уравнения Эйлера-Лагранжа, это можно показать в полярных координатах следующим образом. В отсутствие потенциала функция Лагранжа просто равна кинетической энергии

$\frac{1}{2} mv^2= \frac{1}{2}m \left( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 \right)$

в ортогональной системе координат $(x,y)$.

В полярных координатах $\scriptstyle (r,\varphi)$ кинетическая энергия, и следовательно, функция Лагранжа становится

$L = \frac{1}{2}m \left( \dot{r}^2 + r^2\dot\varphi^2 \right).$

Радиальная и угловая компонента уравнений становятся, соответственно:

$\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} \right) - \frac{\partial L}{\partial r} = 0 \qquad \Rightarrow \qquad \ddot{r} - r\dot{\varphi}^2 = 0$

$\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}} \right) -\frac{\partial L}{\partial \varphi} = 0 \qquad \Rightarrow \qquad \ddot{\varphi} + \frac{2}{r}\dot{r}\dot{\varphi} = 0.$

Решение этих двух уравнений

$r\cos\varphi = a t + b$

$r\sin\varphi = c t + d$

ряд констант «a, b, c, d» задаётся начальными условиями. Таким образом, действительно, решение — это прямая линия, заданная в полярных координатах.

В механике сплошных сред и классической теории поля

Аналогично вводится понятие действия в механике сплошной среды и классической теории поля. В них действие включает в себя интеграл от лагранжевой плотности, зависящей от параметров среды (поля) в каждой точке пространства и их производных по пространственным координатам и времени. Получаемые варьированием действия уравнения движения становятся уравнениями в частных производных.

Принцип стационарности действия оказался одним из самых простых способов обеспечить релятивистскую инвариантность уравнений движения — для этого достаточно, чтобы лагранжева плотность была скаляром (инвариантом) при преобразованиях системы референции, например, преобразованиях Лоренца. Из-за этого роль принципа существенно возросла в релятивистской физике. В частности, теорема Нётер, определяющая сохраняющиеся величины при временной эволюции полевых систем, относится именно к лагранжевым системам.

Надо заметить, что применение принципа стационарности действия к теории калибровочных полей (например, к электродинамике) иногда сталкивается с некоторыми специфическими проблемами, впрочем, разрешимыми.

В квантовой механике

В квантовой механике, в соответствии с копенгагенской интерпретацией, не требуется знать, каким конкретно образом движется частица. Более того, в формулировке Фейнмана утверждается, что:

частица движется из начального состояния в конечное сразу по всем мыслимым траекториям (которых, очевидно, бесконечное число). Амплитуда вероятности перехода из одного заданного состояния в другое является суммой амплитуд по всем этим траекториям и записывается в виде функционального интеграла $\psi=\int [Dx] e ^ {({i S[x]}/{\hbar})}\,.$

Здесь $\int [Dx]$ — это условная запись бесконечнократного функционального интегрирования по всем траекториям x(t), а $\hbar$ — постоянная Планка. Подчеркнём, что в принципе действие в экспоненте появляется (или может появляться) само, при изучении оператора эволюции в квантовой механике, однако для систем, имеющих точный классический (неквантовый) аналог, оно в точности равно обычному классическому действию.

Математический анализ этого выражения в классическом пределе — при достаточно больших $S/\hbar$, то есть при очень быстрых осцилляциях мнимой экспоненты — показывает, что подавляющее большинство всевозможных траекторий в этом интеграле взаимосокращаются при этом в пределе (формально при $S/\hbar \rightarrow \infty$). Для почти любого пути найдется такой путь, на котором набег фазы будет в точности противоположным, и они в сумме дадут нулевой вклад. Не сокращаются лишь те траектории, для которых действие близко к экстремальному значению (для большинства систем — минимуму). Это — чисто математический факт из теории функций комплексного переменного; на нём, например, основан метод стационарной фазы.

В результате частица в полном согласии с законами квантовой механики движется одновременно по всем траекториям, но в обычных условиях в наблюдаемые значения дают вклад только траектории, близкие к стационарным (то есть классическим). Поскольку квантовая механика переходит в классическую в пределе больших энергий, то можно считать, что это — квантовомеханический вывод классического принципа стационарности действия.

Открытие формулировки квантования в терминах функциональных интегралов (часто также говорят: «интегралы по путям», «интегралы по траекториям» или «суммирование историй»), как и установление её связи с классическим пределом, принадлежит Ричарду Фейнману, творчески развившему идею Поля Дирака.

В квантовой теории поля

В квантовой теории поля принцип стационарности действия также успешно применяется. В лагранжеву плотность здесь входят операторы соответствующих квантовых полей. Хотя правильнее тут в сущности (за исключением классического предела и отчасти квазиклассики) говорить не о принципе стационарности действия, а о фейнмановском интегрировании по траекториям в конфигурационном или фазовом пространстве этих полей — с использованием упомянутой только что лагранжевой плотности.

Дальнейшие обобщения

Более широко, под действием понимают функционал, задающий отображение из конфигурационного пространства на множество вещественных чисел и, в общем, он не обязан быть интегралом, потому что нелокальные действия в принципе возможны, по крайней мере, теоретически. Более того, конфигурационное пространство не обязательно является функциональным пространством, потому что может иметь некоммутативную геометрию.

Примечания

1. ↑ The Search Engine that Does at InfoWeb.net
2. ↑ Для системы со многими степенями свободы всё записывается аналогично, только вместо одной обобщенной координаты $q$ используется несколько (или даже — для бесконечномерных систем — бесконечное количество) обобщенных координат $q_1, q_2, \dots$. Пример системы с одной системой свободы рассматривается вначале для простоты.
3. ↑ На этот раз приведен не одномерный пример.

Литература

• Вариационные принципы механики. Сб. статей классиков науки. Под редакцией Полака Л.С. М.: Физматгиз. 1959.
• Ланцош К. Вариационные принципы механики. — М.: Физматгиз. 1965.
• Бердичевский В. Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983. — 448 с.
• Веретенников В. Г., Синицын В. А. Метод переменного действия. 2-ое издание. М.: Физматлит, 2005.
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Механика. — Издание 4-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 215 с. — («Теоретическая физика», том I). — ISBN 5-02-013850-9
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7
• Ланцош К. Вариационные принципы механики. М.: Физматгиз. 1965. — 408 с.
• Полак Л. С. «В. Р. Гамильтон и принцип стационарности действия» Изд-во АН СССР, 1936. — 272 с.
• Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике. — 2-е издание. — М.: Наука, 1966.
• Добронравов В. В. Основы аналитической механики. — М.: Высшая школа, 1976.
• Лич Дж. У. Классическая механика. — М.: Иностр. литература, 1961.
• Павленко Ю. Г. Лекции по теоретической механике. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 392с.
• Парс Л. А. Аналитическая динамика. — М.: Наука, 1971.
• Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. Пер с англ. — М.: Мир, 1968. 384 с.
• Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Том 6: Электродинамика. Перевод с английского (издание 3). — Эдиториал УРСС. — ISBN 5-354-00704-6 — глава 19: Принцип наименьшего действия. (Это простое введение).

См. также

• Действие (физическая величина)