Стационарность

Стационарность — свойство процесса не менять свои характеристики со временем. Имеет смысл в нескольких разделах науки.

Теория вероятностей

Пусть (Ω, F, P) — вероятностное пространство и ξ = (ξ1, ξ2, …) — некоторая последовательность случайных величин, или случайная последовательность. Обозначим через θkξ последовательность (ξk+1, ξk+2, …). Случайная последовательность ξ называется стационарной (в узком смысле), если для ∀k ≥ 1 распределение вероятностей θkξ и ξ: P ((ξ1, ξ2, …) ∈ B) = P ((ξk+1, ξk+2, …) ∈ B), B ∈ B(R∞), г де B(R∞) — борелевская σ-алгебра.

Стационарность случайного процесса означает неизменность во времени его вероятностных закономерностей, при этом обычно рассматривается два вида стационарности: стационарность в узком смысле, когда конечномерные распределения инвариантны относительно сдвига времени, и стационарность в широком смысле, когда от времени не зависят лишь математические ожидания. Практическое применение стационарности основывается на том, что для стационарного процесса характеристики любой случайной выборки и генеральной совокупности совпадают.

Формально условие стационарности случайного процесса в узком смысле можно записать так:

$F(x_1,t_1; x_2,t_2; \ldots; x_n, t_n)=F(x_1, t_1+h;x_2, t_2+h;\ldots;x_n, t_n+h)$ или, что то же самое

$f(x_1,t_1;x_2,t_2;\ldots;x_n, t_n)=f(x_1, t_1+h;x_2, t_2+h;\ldots;x_n, t_n+h)$

$W(x,t)=W(x)$

$W(x_1,x_2,t_1,t_2)=W(x_1,x_2,t_1-t_2)$

Стационарность в широком смысле означает:

1. $mx(t)=const$ для всех t;
2. $Kx(t, s)=Kx(s-t)$, то есть автокорреляционная функция случайного процесса зависит только от разности s и t.

Из стационарности в узком смысле следует стационарность в широком смысле. Обратное верно только для нормальных процессов.

На практике чаще используют предположение о стационарности в широком смысле.

Физика

Стационарными (в некоторых случаях — установившимися) называют процессы, которые не зависят от времени.

Есть также термин — квазистационарный, дающий некоторое приближение к стационарности, обычно применяется в тех случаях, когда характерное время установления равновесия в системе много меньше характерного времени скорости изменения воздействий на систему.