Уравнения Эйлера-Лагранжа

Уравнения Эйлера — Лагранжа являются основными формулами вариационного исчисления, c помощью которых ищутся экстремумы функционалов. В частности, эти уравнения широко используются в задачах оптимизации, и, совместно с принципом действия, используются для вычисления траекторий. Уравнение в некотором смысле сходно с теоремой дифференциального исчисления, утверждающей, что в точке, где первая производная функции обращается в нуль, функция достигает экстремума.

Уравнения были получены Леонардом Эйлером и Жозефом-Луи Лагранжем в 1750-х годах.

Утверждение

Пусть задан функционал

$J = \int\limits_a^b F(x, f(x), f'(x))\, dx.$

с подинтегральной функцией $\! F (x, f (x), f' (x))$, обладающей непрерывными первыми частными производными и называемой функцией Лагранжа или лагранжианом. Если этот функционал достигает экстремума на некоторой функции $\! f$, то для неё должно выполняться обыкновенное дифференциальное уравнение

$\frac {\partial F} {\partial f} - \frac {d} {dx} \frac {\partial F} {\partial f'} = 0,$

которое называется уравнением Эйлера — Лагранжа.

Примеры

Рассмотрим стандартный пример: найти кратчайший путь между двумя точками плоскости. Ответом, очевидно, является отрезок, соединяющий эти точки. Попробуем получить его с помощью уравнения Эйлера — Лагранжа. Пусть точки, которые надо соединить, имеют координаты $\! (a, c)$ и $\! (b, d)$. Тогда длина пути $\! y(x)$, соединяющего эти точки, может быть записана следующим образом:

$L = \int\limits_a^b \sqrt {1 + \left(\frac {dy} {dx}\right)^2} dx.$

Уравнение Эйлера — Ланранжа для этого функционала принимает вид:

$\frac d {dx} \frac {\partial} {\partial y'} \sqrt {1 + \left(\frac {dy} {dx}\right)^2} = 0,$

откуда получаем, что

$\frac {dy} {dx} = C \Rightarrow y = Cx + D.$

Таким образом, получаем прямую линию. Учитывая, что $\! y(a) = c$, $\! y(b) = d$, т. е. что она проходит через исходные точки, получаем верный ответ: отрезок, соединяющий точки.

Многомерные вариации

Существует также множество многомерных вариантов уравнений Эйлера — Лагранжа. Если q(t) — путь в n-мерном пространстве, то он доставляет экстремум функционалу

$J = \int\limits_{t1}^{t2} L(t, q(t), q'(t))\, dt$

только если удовлетворяет условию

$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial q'_k} - \frac{\partial L}{\partial q_k} = 0$ $\forall k = 1, 2, \dots n$

Эта формулировка особенно полезна, когда $\! L$ является лагранжианом, поскольку результирующие уравнения — уравнения движения.

Другое многомерное обобщение получается при рассмотрении функции n переменных. Если $\! \Omega$ — какая-либо поверхность, то

$J = \int\limits_{\Omega} L(f, x_1, \dots , x_n, f_{x_1}, \dots , f_{x_n})\, d\Omega$

доставляет экстремум если только f удовлетворяет уравнению в частных производных

$\frac{\partial L}{\partial f} - \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_i} \frac{\partial L}{\partial f_{x_i}} = 0.$

Если n = 2 и L — функционал энергии, то эта задача называется «минимизацией поверхности мыльной плёнки».

История

Уравнение Эйлера — Лагранжа было получено в 1750-х годах Эйлером и Лагранжем при решении задачи об изохроне. Это проблема определения кривой, по которой тяжёлая частица попадает в фиксированную точку за фиксированное время, независимо от начальной точки.

Лагранж решил эту задачу в 1755 году и отослал решение Эйлеру. Развитый впоследствии метод Лагранжа и применение его в механике привело к формулировке лагранжевой механики. Переписка учёных привела к созданию вариационного исчисления (термин придумал Эйлер в 1766 году).

Доказательство

Вывод одномерного уравнения Эйлера — Лагранжа является одним из классических доказательств в математике. Оно основывается на основной лемме вариационного исчисления.

Мы хотим найти такую функцию $\! f$, которая удовлетворяет граничным условиям $\! f(a)=c$, $\! f(b)=d$ и доставляет экстремум функционалу

$J = \int\limits_a^b F(x,f(x),f'(x))\, dx.$

Предположим, что $\! F$ имеет непрерывные первые производные. Достаточно и более слабых условий, но доказательство для общего случая более сложно.

Если $\! f$ даёт экстремум функционалу и удовлетворяет граничным условиям, то любое слабое возмущение $\! f$, которое сохраняет граничные условия, должно увеличивать значение $\! J$ (если $\! f$ минимизирует его) или уменьшать $\! J$ (если $\! f$ максимизирует).

Пусть $\! \eta(x)$ — любая дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию $\! \eta(a)=\eta(b)=0$. Определим

$J(\varepsilon) = \int\limits_a^b F(x,f(x) + \varepsilon \eta(x), f'(x) + \varepsilon \eta'(x))\, dx.$

Поскольку $\! f$ даёт экстремум для $\! J(0)$, то $\! J'(0)=0$, то есть

$J'(0) = \int\limits_a^b \left[ \eta(x) \frac{\partial F}{\partial f} + \eta'(x) \frac{\partial F}{\partial f'} \right]\,dx = 0.$

Интегрируя по частям второе слагаемое, находим, что

$0 = \int\limits_a^b \left[ \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'} \right] \eta(x)\,dx + \left[ \eta(x) \frac{\partial F}{\partial f'} \right]_a^b.$

Используя граничные условия на $\! \eta$, получим

$0 = \int\limits_a^b \left[ \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'} \right] \eta(x)\,dx.$

Отсюда, так как $\! \eta(x)$ — любая, следует уравнение Эйлера — Лагранжа:

$\frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'}=0.$

Обобщение на случай с высшими производными

Лагранжиан может также зависеть и от призводных f порядка выше, чем первый.

Пусть функционал, экстремум которого нужно найти, задан в виде:

$J = \int\limits_a^b F(x, f(x), f'(x), f''(x),...,f^{(n)}(x))\, dx.$

Если наложить граничные условия на f и на её производные до порядка n − 1 включительно, а также предположить, что F имеет непрерывные первые производные, то можно, применяя интегрирование по частям несколько раз, вывести уравнение Эйлера-Лагранжа и для этого случая:

$\frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'}+\frac{d^2}{dx^2} \frac{\partial F}{\partial f''}-...+(-1)^n \frac{d^n}{dx^n} \frac{\partial F}{\partial f^{(n)}} = 0 .$

См. также

• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Euler-Lagrange на сайте Wolfram MathWorld.(англ.)
• Calculus of Variations на сайте (англ.)
• Summary with some historical information
• Examples — задачи из вариационного исчисления.