Теорема Нётер

Теоре́ма Эмми Нётер утверждает, что каждой непрерывной симметрии физической системы соответствует некоторый закон сохранения. Так, закон сохранения энергии соответствует однородности времени, закон сохранения импульса — однородности пространства, закон сохранения момента импульса — изотропии пространства, закон сохранения электрического заряда — калибровочной симметрии и т. д.

Теорема обычно формулируется для систем, обладающих функционалом действия, и выражает собой инвариантность лагранжиана по отношению к некоторой непрерывной группе преобразований.

Теорема установлена в работах учёных гёттингенской школы Д. Гильберта, Ф. Клейна и Э. Нётер. В наиболее распространенной формулировке была доказана Эмми Нётер в 1918 году.

Формулировка

Классическая механика

Каждой однопараметрической группе диффеоморфизмов $g^s(q_i)$, сохраняющих функцию Лагранжа, соответствует первый интеграл системы, равный

$I=\sum^n_{i=1}\left( \frac{d}{ds} g^s(q_i) \right) \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}$

В терминах инфинитезимальных преобразований, пусть инфинитезимальное преобразование координат имеет вид

$g^s(\vec q) = \vec q_0 + s \vec \psi (\vec q,\; t)$

и функция Лагранжа $L(q,\; \dot q,\; t)$ инвариантна относительно этих преобразований, то есть

$\frac{d}{ds}L(\vec q_0 + s \vec \psi (\vec q,\; t),\; \dot {\vec q_0} + s \dot {\vec \psi} (\vec q,\; t),\; t) = 0$

Тогда у системы существует первый интеграл, равный

$I = \left( \vec \psi (\vec q,\; t);\; \frac{\partial L}{\partial \dot {\vec q}} \right) = \sum^n_{i=1}\psi_i (\vec q,\; t) \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}.$

Теорему можно обобщить на случай преобразований, затрагивающих также и время, если представить её движение как зависящее от некоторого параметра $\tau$, причем в процессе движения $t=\tau$. Тогда из преобразований

$g^s(\vec q) = \vec q_0 + s \vec \psi (\vec q,\; t)$

$g^s(t) = t_0 + s \xi (\vec q,\; t)$

следует первый интеграл

$I = \xi L + \left( \vec \psi - \xi \dot {\vec q};\; \frac{\partial L}{\partial \dot {\vec q}} \right)$

Теория поля

Теорема Нётер допускает прямое обобщение на случаи систем с бесконечным числом степеней свободы, примером которых являются гравитационное и электромагнитное поле. А именно, пусть функция Лагранжа системы зависит от $n$ потенциалов, зависящих, в свою очередь, от $k$ координат. Функционал действия будет иметь вид

$S = \int L(A^i,\; \partial_\mu A^i,\; x^\mu)\, d \Omega,\quad i=1, \ldots,\; n,\quad \mu=1,\; \ldots,\; k,\quad d\Omega = dx^1\ldots dx^k.$

Пусть однопараметрическая группа $g^s$ диффеоморфизмов пространства потенциалов сохраняет функцию Лагранжа, тогда сохраняется вектор

$J^\mu = \left( \frac{d}{ds} g^s A^i \right) \frac{\partial L}{\partial (\partial_\mu A^i)},$

называемый вектором потока Нётер. По повторяющимся индексам подразумевается суммирование, $\partial_\mu = \frac{\partial}{\partial x^\mu}$. Смысл сохранения вектора потока Нётер в том, что

$\ \partial_\mu J^\mu = 0,$

поэтому поток $J$ через любую замкнутую поверхность в пространстве координат равен 0. В частности, если выделить среди координат одну, называемую временем, и рассмотреть гиперплоскости постоянного времени, то поток $J$ через такую гиперплоскость постоянен во времени, при условии достаточно быстрого спадения поля на бесконечности и некомпактности гиперповерхности, чтобы поток вектора через боковую границу области пространства между двумя гиперповерхностями был равен 0. В классической теории поля таким свойством обладает, например, тензор энергии-импульса для электромагнитного поля. В вакууме лагранжиан поля не зависит явно от координат, поэтому имеется сохраняющаяся величина, ассоциируемая с потоком энергии-импульса.

Дифференциальные уравнения

Пусть имеется вариационная задача с функционалом действия $S=\int L (\vec u, \vec x,\dots ) \, d\boldsymbol x$. Здесь $L$ — лагранжиан, $x$ — независимые переменные, $u$ — зависимые переменные, то есть функции от $x$. $L$ может зависеть также и от производных $u$ по $x$, не обязательно только первого порядка.

Вариационная задача для такого функционала приводит к дифференциальным уравнениям Эйлера-Лагранжа, которые можно записать в виде

$\mathrm{E_\alpha} (L)=0~,~\alpha=1\dots q$,

где $\mathrm{E}$ — операторы Эйлера-Лагранжа:

$\mathrm{E_\alpha}= \frac{\partial}{\partial u_\alpha}-\sum_{i=1}^{p} \frac{d}{d x_i}\frac{\partial}{\partial u^{\alpha}_{x_i}} + \dots ~~~$,

$u^{\alpha}_{x_i}$ — производная функции $u^{\alpha}$ по переменной $x_i$. Многоточие означает, что если $L$ зависит от производных порядка выше первого, то нужно добавить соответствующие слагаемые в $\mathrm{E}$. В компактной записи $\mathrm{E_\alpha}= \sum_J (-D)_J\frac{\partial}{\partial u^{\alpha}_J}$, где $J$ — мультииндекс. Суммирование ведётся по всем слагаемым таким, что производная $u^{\alpha}_J$ входит в $L$.

Теорема Нётер связывает так называемые вариационные симметрии функционала $S$ с законами сохранения, выполняющимися на решениях уравнений Эйлера-Лагранжа.

Законы сохранения

Закон сохранения для системы дифференциальных уравнений — это выражение вида

$\mathrm{Div} \vec P =0$

которое справедливо на решениях этой системы, то есть такое, что если подставить в него эти дифференциальные уравнения, получится тождество. В данном случае рассматриваются дифференциальные уравнения Эйлера-Лагранжа. Здесь $\mathrm{Div}$ — полная дивергенция (дивергенция с полными производными) по $x$. $\vec P$ — гладкие функции $u$, $x$ и производных $u$ по $x$.

Тривиальными законами сохранения называются законы сохранения

• для которых $\mathrm{Div} \vec P =0$ само по себе является тождеством без учёта каких-либо дифференциальных уравнений;
• или для которых $\vec P$ обращается в 0 сразу при подстановке дифференциальных уравнений, без вычисления дивергенции (сохраняется тождественный ноль на решениях);
• или для которых $\vec P$ есть линейная комбинация предыдущих типов.

Если для двух законов сохранения с функциями $\vec P$ и $\vec R$ разность $\vec P - \vec R$ даёт тривиальный закон сохранения, такие два закона сохранения называются эквивалентными.

Всякий закон сохранения эквивалентен закону сохранения в характеристической форме — то есть такому, для которого

$\mathrm{Div} \vec P =\vec Q\cdot \vec \Delta$,

где $\Delta$ — выражения, которые входят в определение системы дифференциальных уравнений: $\vec \Delta=0$. Для описываемого случая $\Delta_\alpha=E_\alpha (L)$ и

$\mathrm{Div} \vec P =\sum_\alpha Q_\alpha E_\alpha (L)$.

$Q_\alpha$ зависят от $u$, $x$ и производных $u$ по $x$ и называются характеристиками закона сохранения.

Вариационные симметрии

Пусть имеется обобщённое векторное поле

$\vec v=\sum_{i=1}^{p}\xi^i\frac{\partial}{\partial x^i}+\sum_{\alpha=1}^{q}\varphi_\alpha\frac{\partial}{\partial u^\alpha}$.

«Обобщённое» понимается в том смысле, что $\xi$ и $\varphi$ могут зависеть не только от $u$ и $x$, но и от производных $u$ по $x$.

Определение: $\vec v$ называется вариационной симметрией функционала $S$, если существует набор функций $\vec\mathrm B(\vec u, \vec x,\dots )$ такой, что

$\mathrm{pr}\, \vec v (L) +L\, \mathrm{Div} \vec \xi=\mathrm{Div}\, \vec \mathrm{B}$.

$\mathrm{pr}\, \vec v$ — продолжение $\vec v$. Продолжение учитывает, что действие $\vec v$ на $u$ и $x$ вызывает также инфинетизимальное изменение производных, и задаётся формулами

$\mathrm{pr}\, \vec v = \vec v + \sum_{\alpha,J}\varphi^J_\alpha\frac{\partial}{\partial u^\alpha_J}~,~\varphi^J_\alpha=D_J \bigl(\varphi_\alpha-\sum_i \xi^i u^\alpha_i \bigr)$.

В формуле для продолжения необходимо брать, кроме $\vec v$, слагаемые с такими $\partial /\partial u^\alpha_J$, для которых $u^\alpha_J$ входят в $L$ или, в общем случае, в то выражение, на которое продолжение действует.

Смысл определения вариационной симметрии состоит в том, что $\vec v$ — это инфенитизимальные преобразования, которые в первом порядке меняют функционал $S$ таким образом, что уравнения Эйлера-Лагранжа преобразуются в эквивалентные. Справедлива

теорема: если $\vec v$ является вариационной симметрией, то $\vec v$ является (обобщённой) симметрией уравнений Эйлера-Лагранжа:

$\mathrm{pr}\, \vec v\, \mathrm{E}_\alpha (L) \vert_{\vec \mathrm{E} (L)=0}=0$.

Эта формула означает, что инфинетезимальные изменения выражений $\mathrm{E}_\alpha (L)$, записанные здесь в виде $\mathrm{pr}\, \vec v\, \mathrm{E}_\alpha (L)$, обращаются в 0 на решениях.

Характеристики векторных полей

Набор функций $Q_\alpha=\varphi_\alpha-\sum_i\xi^i u^\alpha_i$ (в обозначениях, данных выше) называется характеристикой векторного поля $\vec v$. Вместо $\vec v$ можно брать векторное поле

$\vec v_Q=\sum_\alpha Q_\alpha \frac{\partial}{\partial u^\alpha}$,

которое называется эволюционным представителем $\vec v$.

$\vec v$ и $\vec v_Q$ определяют по сути одну и ту же симметрию, поэтому, если известны характеристики $Q_\alpha$, можно считать, что тем самым задана и симметрия. Продолжение $\vec v_Q$ определяется аналогично продолжению $\vec v$, но формально проще, поскольку не нужно отдельно учитывать вклад от $\xi$.

Теорема Нётер устанавливает связь между характеристиками законов сохранения и характеристиками векторных полей.

Теорема Нётер

Обобщённое векторное поле $\vec v$ определяет группу симметрий функционала $S$ в том и только в том случае, если его характеристика $\vec Q$ является характеристикой закона сохранения $\mathrm{Div} \vec P =0$ для соответствующих уравнений Эйлера-Лагранжа.

Законы сохранения

В классической механике законы сохранения энергии, импульса и момента импульса выводятся из однородности/изотропности лагранжиана системы — лагранжиан (функция Лагранжа) не меняется со временем сам по себе и не изменяется переносом или поворотом системы в пространстве. По сути это означает то, что при рассмотрении некой замкнутой в лаборатории системы будут получены одни и те же результаты — вне зависимости от расположения лаборатории и времени проведения эксперимента. Другие симметрии лагранжиана системы, если они есть, соответствуют другим сохраняющимся в данной системе величинам (интегралам движения); например, симметрия лагранжиана гравитационной и кулоновской задачи двух тел приводит к сохранению не только энергии, импульса и момента импульса, но и вектора Лапласа — Рунге — Ленца.

Приложения

Теорема Нётер позволяет получать значительную информацию о свойствах решений системы дифференциальных уравнений, основываясь лишь на их симметрии. Она также является одним из методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, так как позволяет в некоторых случаях находить первые интегралы системы уравнений и таким образом понижать число неизвестных функций. Например:

• Сохранение импульса системы следует из её инвариантности относительно пространственных сдвигов. Конкретнее, если сдвиг вдоль оси X не меняет систему уравнений, то сохраняется импульс $p_x$ вдоль этой оси.
• Сохранение момента импульса следует из инвариантности системы относительно вращений пространства.
• Закон сохранения энергии — это следствие однородности времени, позволяющей произвольным образом сдвигать начало отсчёта времени.

В случае уравнений в частных производных необходимо, вообще говоря, искать бесконечное число первых интегралов. Даже зная их, обычно нелегко выписать общее решение.

В силу своей фундаментальности, теорема Нётер используется в таких областях физики, как квантовая механика, для самого введения понятий импульса, момента импульса и т. д. Инвариантность уравнений относительно некоторых симметрий становится единственной сутью этих величин и гарантирует их сохранение.

В квантовой теории поля аналогом теоремы Нётер являются тождества Уорда — Такахаси (англ.), позволяющие получить дополнительные законы сохранения. Например, сохранения электрического заряда следует из инвариантности физической системы относительно изменения фазы комплексной волновой функции частицы и соответствующей калибровки векторного и скалярного потенциала электромагнитного поля.

Заряд Нётер также используется для вычисления энтропии стационарной чёрной дыры^[1].

Примечания

1. ↑ Calculating the entropy of stationary black holes.  (англ.)

Литература

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики, изд. 5-ое, — М.: Едиториал УРСС, 2003, ISBN 5-354-00341-5
• Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. — М.: Наука, 280 с., 1983 г.

Ссылки

• Перевод статьи Нётер на английский
• Статья о Теореме Нётер, by John Baez  (англ.)
• E. Noether’s Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws by Nina Byers
• Теорема Нётер на MathPages.  (англ.)
• Symmetric energy-momentum tensor in Maxwell, Yang-Mills, and Proca theories obtained using only Noether’s theorem.  (англ.)
• Giachetta G., Mangiarotti L., Sardanashvily G. On the notion of gauge symmetries of generic Lagrangian field theory. — J. Math. Phys. 50 (2009) 012903; arXiv 0807.3003.