Формулы Грина

Формулы Грина — Кубо или соотношения Грина — Кубо связывают кинетические коэффициенты (коэффициенты переноса) линейных диссипативных процессов с временными корреляционными функциями соответствующих потоков.

Названы по именам предложивших их М. Грина (Melville S. Green, 1954) и Р. Кубо (1957).

Иногда формулы Грина — Кубо называют формулами Кубо. При этом существуют отдельные формулы Кубо, являющиеся частным случаем формул Грина — Кубо.

Коэффициент самодиффузии

Коэффициент самодиффузии $D$ выражается через интеграл корреляционной функции проекции скорости (импульса) частицы:

$D = \lim_{\varepsilon \rightarrow +0} m_1^{-2} \int\limits_0^\infty e^{-\varepsilon \tau} \langle p_1^x(0) p_1^x(\tau) \rangle \, \mathrm{d} \tau$,

где $p_i$ - импульс частицы (номер 1), верхний индекс $x$ означает $x$-компоненту вектора, $\tau$ - время. Угловые скобки означают усреднение по равновесному распределению Гиббса. В классическом случае формула упрощается:

$D = \int\limits_0^\infty \langle v_1^x(0) v_1^x(\tau) \rangle \, \mathrm{d} \tau$.

Коэффициент теплопроводности

$\lambda = \lim_{\varepsilon \rightarrow +0} \lim_{V \rightarrow \infty} \frac{1}{V \, k_B T} \int\limits_0^\infty e^{-\varepsilon \tau} \langle J_Q^x(0) J_Q^x(\tau) \rangle \, \mathrm{d} \tau$,

где $\lambda$ - коэффициент теплопроводности, $V$ - объем, $T$ - температура, $k_B$ - постоянная Больцмана, $J_Q^x$ - $x$-компонента потока тепла.

Коэффициент сдвиговой вязкости

$\eta = \lim_{\varepsilon \rightarrow +0} \lim_{V \rightarrow \infty} \frac{1}{V \, k_B T} \int\limits_0^\infty e^{-\varepsilon \tau} \langle \pi^{xy}(0) \pi^{xy}(\tau) \rangle \, \mathrm{d} \tau$,

где $\eta$ - коэффициент сдвиговой вязкости, $\pi^{xy}$ - компоненты тензора потока полного импульса.

Коэффициент объемной вязкости

$\zeta = \lim_{\varepsilon \rightarrow +0} \lim_{V \rightarrow \infty} \frac{1}{V \, k_B T} \int\limits_0^\infty e^{-\varepsilon \tau} \langle (1 - \mathcal{P}) \pi^{xx}(0) \pi^{xx}(\tau) \rangle \, \mathrm{d} \tau$,

где $\zeta$ - коэффициент объемной вязкости,

$\mathcal{P} \pi^{xx} = \langle \pi^{xx} \rangle + (H - \langle H \rangle) \frac{\partial \langle \pi^{xx} \rangle}{\partial \langle H \rangle} + (N - \langle N \rangle) \frac{\partial \langle \pi^{xx} \rangle}{\partial \langle N \rangle}$,

$H$ - гамильтониан системы, $N$ - полное число частиц.

Обобщение на квантовый случай

Литература

• M. S. Green, Markoff Random Processes and the Statistical Mechanics of Time-Dependent Phenomena. II. Irreversible Processes in Fluids, J. Chem. Phys 22 (1954), pp. 398-413

• R. Kubo, Statistical-Mechanical Theory of Irreversible Processes. I. General Theory and Simple Applications to Magnetic and Conduction Problems, J. Phys. Soc. Jpn. 12 (1957), pp. 570-586

• А. М. Прохоров (глав. ред.), Физическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия, 1988

Примечания