Распределение Гиббса

Распределение Гиббса

Распределение Гиббса — распределение, определяющее количества частиц в различных квантовых состояниях. Основывается на постулатах статистики:

  1. Все доступные микросостояния системы равновероятны.
  2. Равновесию соответствует наиболее вероятное распределение (подсистем по состояниям).
  3. Вероятность пребывания подсистемы в некотором состоянии определяется только энергией состояния.

Распределение Гиббса представляет наиболее общую и удобную основу для построения равновесной статистической механики.

Содержание

Количественное рассмотрение

Статистический вес

G=\frac{N!}{N_1!N_2!\dots},\qquad(0)

как и в термодинамике, несёт смысл относительной вероятности нахождения системы в определённом микросостоянии. И, смотря на соотношение Больцмана S=k\ln G, легко понять, что состоянию с минимальной энтропией соответствует минимальный статистический вес. Нужно учесть, что в системе постоянны число частиц

\sum\limits_i{N_i}=N=\mathrm{const}\qquad(1)

и полная энергия

\sum\limits_i{N_i\varepsilon_i}=E=\mathrm{const}.\qquad(2)

Факториал больших чисел (а числа N и N_i большие; теми из них, которые малы, можно пренебречь) находится по формуле Стирлинга: N!=\sqrt{2\pi N}\left(\frac{N}{e}\right)^N\exp\left(\frac{\vartheta}{12N}\right), где 0<\vartheta<1. Эту точную формулу можно заменить приближённой

N!=\sqrt{2\pi N}\left(\frac{N}{e}\right)^N,\qquad(3)

так как относительная ошибка в вычислениях по этой формуле не превосходит e^\frac{1}{12N}-1\approx\frac{1}{12N}, уже при n=10 она меньше одного процента. Из соотношений (0), (1) и (3) следует следующее:

G=\frac{N!}{\prod\limits_i\sqrt{2\pi N_i}N_i^{N_i}e^{-N_i}}=\frac{N!\cdot\prod\limits_i e^{N_i}}{\left(\prod\limits_i\sqrt{2\pi}\right)\left(\prod\limits_i\sqrt{N_i}N_i^{N_i}\right)}=\frac{\dfrac{N!\cdot e^{\sum\limits_i N_i}}{\left(2\pi\right)^{0{,}5N}}}{\prod\limits_i\sqrt{N_i}N_i^{N_i}}=\frac{\dfrac{N!\cdot e^{\sum\limits_i N_i}}{\left(2\pi\right)^{0{,}5N}}}{\prod\limits_i N_i^{N_i+0{,}5}}.

Числитель здесь есть функция от N, и можно ввести обозначение

C(N)=\frac{N!\cdot e^{\sum\limits_i N_i}}{(2\pi)^{0{,}5N}},

что даст

G=\frac{C(N)}{\prod\limits_i N_i^{N_i+0{,}5}}.\qquad(4)

Тогда из формулы Больцмана S=k\ln G следует

S=-k\sum\limits_i((N_i+0{,}5)\ln N_i)+\mathrm{const}.

Здесь можно пренебречь 0,5 по сравнению с N_i. Тогда

S=-k\sum\limits_i(N_i\ln N_i)+\mathrm{const}.\qquad(5)

Максимум энтропии (5) с учётом соотношений (1) и (2), используя метод множителей Лагранжа, наступает при условиях

\sum\ln N_i\,dN_i=0,\;\sum dN_i=0,\;\sum\varepsilon_i\,dN_i=0.

Отсюда \sum(\ln N_i+\beta+\alpha\varepsilon_i)\,dN_i=0, где \alpha и \beta — множители Лагранжа, не зависящие от переменных N_i. В системе имеется m переменных и три уравнения — следовательно, любые две зависят от остальных; соответственно можно зависимыми считать N_1 и N_2 и выбрать множители Лагранжа так, чтобы коэффициенты при dN_1 и dN_2 обратились в 0. Тогда при остальных dN_i переменные N_3, N_4, … можно принять за независимые, и при них коэффициенты также будут равны 0. Так получено

\ln N_i+\beta+\alpha\varepsilon_i=0,

откуда

\bar N_i=N_0 e^{-\alpha\varepsilon_i},

где N_0=e^{-\beta} — новая константа.

Для определения постоянной \alpha можно заключить систему в теплопроводящие стенки и квазистатически изменять её температуру. Изменение энергии газа равно dE=\sum\varepsilon_i\,d\bar N_i, а изменение энтропии (из соотношения (5)) равно dS=-k\sum\ln\bar N_i\,d\bar N_i=-k\alpha\sum\varepsilon_i\,d\bar N_i. Так как dE=T\,dS, то отсюда \alpha=\frac{1}{kT}, и потому

\bar N_i=N_0 e^{-\frac{\varepsilon_i}{kT}}.\qquad(6)

Термостат

Получено наиболее вероятное распределение системы. Для произвольной макроскопической системы (системы в термостате), окружённой протяжённой средой (термостатом), температура которой поддерживается постоянной, выполняется соотношение (6) — распределение Гиббса: им определяется относительная вероятность того, что система при термодинамическом равновесии находится в i-ом квантовом состоянии.

Cм. также

Литература

  • Базаров И. П., Геворкян Э. В., Николаев П. Н. Термодинамика и статистическая физика. Теория равновесных систем. — М.: МГУ, 1986. — 312 с.
  • Квасников И. А. Термодинамика и статистическая физика. Теория равновесных систем. Статистическая физика. — Том 2. — М.: УРСС, 2002. — 430 с.
  • Кубо Р. Статистическая механика. — М.: Мир, 1967. — 452 c.
  • Сивухин Д. В. Общий курс физики. — В 5 т. — Т. II. Термодинамика и молекулярная физика. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
  • Терлецкий Я. П. Статистическая физика. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 1973. — 277 c.

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Распределение Гиббса" в других словарях:

  • МИКРОКАНОНИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББСА — равновесное распределение вероятностей состояний статистического ансамбля систем с заданной полной энергией при пост. объёме и пост. числе ч ц, но энергетически изолированных от окружающей среды, т. е. статистич. распределение для… …   Физическая энциклопедия

  • КАНОНИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББСА — распределение вероятностей состояний статистического ансамбля систем, к рые находятся в тепловом равновесии со средой (термостатом) и могут обмениваться с ней энергией при пост. объёме и пост. числе ч ц (т. е. статистич. распределение для… …   Физическая энциклопедия

  • КАНОНИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББСА — распределение вероятностей состояний статистич. ансамбля систем, к рые находятся в тепловом равновесии со средой (термостатом) и могут обмениваться с ней энергией при пост. объёме и пост. числе частиц; соответствует канонич. ансамблю Гиббса. К. р …   Физическая энциклопедия

  • каноническое распределение Гиббса — kanoninis Gibso skirstinys statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Gibbs canonical distribution vok. Gibbssche kanonische Verteilung, f rus. каноническое распределение Гиббса, n pranc. distribution canonique de Gibbs, f …   Fizikos terminų žodynas

  • микроканоническое распределение Гиббса — mikrokanoninis Gibso skirstinys statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Gibbs microcanonical distribution vok. Gibbssche mikrokanonische Verteilung, f rus. микроканоническое распределение Гиббса, n pranc. distribution microcanonique de Gibbs …   Fizikos terminų žodynas

  • большое каноническое распределение Гиббса — didysis kanoninis Gibso skirstinys statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. grand canonical distribution vok. große kanonische Verteilung, f rus. большое каноническое распределение Гиббса, n pranc. distribution grande canonique, f; grande… …   Fizikos terminų žodynas

  • ГИББСА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — каноническое распределение вероятностей различных состояний макроскопической системы с постоянным объемом и постоянным числом частиц, находящейся в равновесии с окружающей средой заданной температуры; если система может обмениваться частицами со… …   Большой Энциклопедический словарь

  • ГИББСА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ — равновесные распределения вероятностей состояний статистич. систем в разл. физ. условиях фундам. законы статистич. физики, установленные Дж. У. Гиббсом (1901). Г. р. имеют место как для состояний классич. систем, полная энергия к рых определяется …   Физическая энциклопедия

  • Гиббса распределение — каноническое, распределение вероятностей различных состояний макроскопической системы с постоянным объёмом и постоянным числом частиц, находящейся в равновесии с окружающей средой заданной температуры; если система может обмениваться частицами со …   Энциклопедический словарь

  • Распределение Больцмана — Статистика Максвелла Больцмана статистический метод описания физических систем, содержащих большое число невзаимодействующих частиц, движущихся по законам классической механики (то есть классического идеального газа); предложена в 1871 г.… …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «Распределение Гиббса» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»