ГРИНА ФУНКЦИЯ

- функция, связанная с интегральным представлением решений краевых задач для дифференциальных уравнений.

Г. ф. краевой задачи для линейного дифференциального уравнения - фундаментальное решение уравнения, удовлетворяющее однородным краевым условиям. Г. ф. является ядром интегрального оператора, обратного к дифференциальному оператору, порожденному данным дифференциальным уравнением и однородными краевыми условиями. Г. ф. позволяет найти решения неоднородного уравнения, удовлетворяющие однородным краевым условиям.

Нахождение Г. ф. сводит исследование свойств дифференциального оператора к изучению аналогичных свойств соответствующего интегрального оператора.

Функция Грина для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пусть L - дифференциальный оператор, порожденный дифференциальным полиномом

и краевыми условиями где

Г. ф. оператора Lназ. функция , удовлетворяющая условиям:

1) непрерывна и имеет непрерывные производные по хдо -го порядка включительно для всех значений x и из сегмента ;

2) при любом фиксированном из интервала функция имеет равномерно непрерывные производные n-го порядка по хв каждом из полусегментов , причем производная ( п-1)-го порядка при удовлетворяет условию

3) в каждом из полусегментов функция , рассматриваемая как функция от х, удовлетворяет уравнению и краевым условиям U_jx[G]=0, j=1, 2,..., n.

Если краевая задача имеет лишь тривиальные решения, то оператор Lимеет и притом только одну Г. ф. (см. [1]). При этом для любой функции , непрерывной на сегменте , существует решение краевой задачи , и это решение задается формулой

Если оператор имеет Г. ф. , то сопряженный оператор также имеет Г. ф., к-рая равна Если, в частности, оператор Lсамосопряженный то есть Г. ф. в этом случае является эрмитовым ядром. Напр., Г. ф. самосопряженного оператора L2-го порядка, порожденного дифференциальной операцией с действительными коэффициентами

и краевыми условиями имеет вид:

Здесь - произвольные решения уравнения , удовлетворяющие соответственно условиям где W - определитель Вронского (вронскиан).решений и , причем можно показать, что Сне зависит от .

Если оператор Lимеет Г. ф., то краевая задача на собственные значения эквивалентна интегральному уравнению

к которому применима теория Фредгольма. Поэтому краевая задача может иметь не более счетного числа собственных значений у которых отсутствуют конечные предельные точки. Сопряженная задача имеет комплексно сопряженные собственные значения той же кратности. Для каждого , не являющегося собственным значением оператора L, можно построить Г. ф. оператора , где I - тождественный оператор. Функция является мероморф-ной функцией параметра ; ее полюсами могут быть лишь собственные значения оператора L. Если кратность собственного значения равна единице, то

где регулярна в окрестности точки , а

и - собственные функции операторов и , отвечающие собственным значениям и и нормированные так, что

Если имеет бесконечно много полюсов и при том только 1-го порядка, то существует полная биортогональная система

собственных функций операторов . Если занумеровать собственные значения в порядке возрастания их абсолютных величин, то интеграл

равен частичной сумме

разложения функции по собственным функциям оператора . Положительное число Rвыбирается так, чтобы на окружности функция была регулярной по . Для регулярной краевой задачи и для любой кусочно гладкой функции в интервале выполняется равенство

т. е. имеет место разложимость в сходящийся ряд (см. [1]).

Если Г. ф. оператора имеет кратные полюсы, то ее главная часть выражается через канонич. системы собственных и присоединенных функций операторов и (см. [2]).

Выше рассматривался случай, когда краевая задача L_y=0 не имела нетривиальных решений. Если же эта краевая задача имеет нетривиальные решения то вводят так наз. обобщенную Грина функцию. Пусть, напр., имеется ровно тлинейно независимых решений задачи . Тогда существует обобщенная Г. ф. , к-рая обладает свойствами 1) и 2) обычной Г. ф., при удовлетворяет как функция хкраевым условиям и, кроме того, является решением уравнения

здесь - система линейно независимых решений сопряженной задачи , а - произвольная биортогональная ей система непрерывных функций. Тогда

есть решение краевой задачи , если функция f(x).непрерывна и удовлетворяет условию разрешимости, т. е. ортогональна всем .

Если - одна из обобщенных Г. ф. оператора L, то любая другая обобщенная Г. ф. может быть представлена в виде

где -полная система линейно независимых решений задачи - произвольные непрерывные функции (см. [3]).

Функция Грина для дифференциальных уравнений с частными производными. 1) Эллиптические уравнения. Пусть А - эллиптический дифференциальный оператор порядка т, порожденный дифференциальным полиномом

в ограниченной области и однородными краевыми условиями , где - граничные операторы с коэффициентами, определенными на границе области , к-рая предполагается достаточно гладкой. Функция наз. Г. ф. оператора А, если при любом она удовлетворяет однородным краевым условиям и, рассматриваемая как обобщенная функция, удовлетворяет уравнению

В случае операторов с гладкими коэффициентами и нормальных граничных условий, обеспечивающих единственность решения однородной краевой задачи, Г. ф. существует и решение краевой задачи представляется в виде (см. [4])

В этом случае для Г. ф. справедливы равномерные при оценки

и Г. ф. равномерно ограничена, если .

Краевая задача на собственные значения эквивалентна интегральному уравнению

для к-рого применима теория Фредгольма (см. [5]). При этом Г. ф. сопряженной краевой задачи равна Отсюда, в частности, следует, что может существовать не более чем счетное число собственных значений и что они не имеют конечных предельных точек, а сопряженная краевая задача имеет комплексно сопряженные собственные значения той же кратности. Для уравнений 2-го порядка Г. ф. изучена полнее, поскольку явно выписывается вид особенности фундаментального решения. Так, для оператора Лапласа Г. ф. имеет вид

где - гармоническая в области функция, выбранная таким образом, чтобы Г. ф. удовлетворяла краевому условию.

Г. ф. первой краевой задачи для эллиптич. оператора 2-го порядка с гладкими коэффициентами в области Wс границей дWтипа Ляпунова позволяет выразить решение задачи

в виде

где - производная по внешней конормалн для оператора .

В случае, если однородная краевая задача имеет нетривиальные решения, то, как и для обыкновенных дифференциальных уравнений, вводится обобщенная Г. ф. Так, напр., в случае второй краевой задачи для оператора Лапласа существует обобщенная Г. ф., наз. Неймана функцией (см. [3]).

2) Параболические уравнения. Пусть Р - параболический дифференциальный оператор порядка т, порожденный дифференциальным полиномом

и однородными начальным и краевыми условиями

где - граничные операторы с коэффициентами, определенными при . Г. ф. оператора Рназ. функция , к-рая для любых и удовлетворяет по ходнородным краевым условиям, является при решением уравнения

и для любой непрерывной функции удовлетворяет соотношению

В случае операторов с гладкими коэффициентами и нормальных граничных условий, обеспечивающих единственность решения задачи , Г. ф. существует, и решение уравнения

удовлетворяющее однородным краевым условиям и начальному условию , имеет вид

При изучении эллиптич. или параболич. систем вместо Г. ф. вводится понятие матрицы Грина, к-рая позволяет выразить решения однородных краевых задач для указанных систем в виде интегралов от произведений матрицы Грина на векторы правых частей и начальных условий (см. [7]).

Г. ф. наз. по имени Дж. Грина (G. Green), впервые рассмотревшего один ее частный случай в своем исследовании по теории потенциала (1828).

Лит.:[1] Наймарк М. А., Линейные дифференциальные операторы, 2 изд., М., 1969; [2] Келдыш М. В., "Докл. АН СССР", 1951, т. 77, № 1, с. 11 - 14; [3] Соболев С. Л., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1966; [4] Берс Л., Джон Ф., Шехтер М., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1966; [5] Garding L., "Math, scand.", 1953, v. 1, № 1, S. 55-72; 16] Фридман А., Уравнения с частными производными, параболического типа, пер. с англ., М., 1968; [7] Эйдельман С. Д., Параболические системы, М., 1964. Ш. А. Алимов, В. А. Ильин.

Функция Грина в теории функций. В теории функций комплексного переменного под (действительной) Г. ф. понимается Г. ф. первой краевой задачи для оператора Лапласа, т. е. функция вида

где - комплексное переменное, - полюс Г. ф., - гармонич. функция z, принимающая на границе области значения . Пусть область односвязная и - аналитич. функция, реализующая конформное отображение области на единичный круг в плоскости так, что точка переходит в центр круга,

Тогда

Если - сопряженная гармоническая для функция, то аналитич. функция наз. комплексной функцией Грина области с полюсом . Обращение формулы (2) дает

Формулы (2) и (3) показывают, что задачи построения конформного отображения области Q на круг и отыскания Г. ф. эквивалентны. Г. ф. инвариантны относительно конформных отображений, что облегчает иногда их отыскание (см. Отображений метод).

В теории римановых поверхностей Г. ф. удобнее определить при помощи минимального свойства, справедливого для функции (1): среди всех положительных гармонических при функций на римановой поверхности , имеющих в окрестности точки вид

где - регулярная на всей поверхности и гармонич. функция, Г. ф. если она существует, является наименьшей, т. е. . При этом существование Г. ф. характерно для римановых поверхностей гиперболич. типа. Так определенная Г. ф. на (идеальной) границе римановой поверхности, вообще говоря, уже не везде обращается в нуль. Аналогично обстоит дело и в потенциала теории, (см. также Потенциала теория абстрактная). Для произвольного открытого множества , напр, в евклидовом пространстве Г. ф. также можно определить при помощи указанного минимального свойства, причем при в (4) вместо следует писать . Вообще говоря, при приближении к границе такая Г. ф. не обязательно стремится к нулю. Для римановых поверхностей параболич. типа и для нек-рых областей в (напр., для ) Г. ф. не существует.

Лит.:[1] Стоилов С., Теория функций комплексного переменного, пер. с рум., т. 2, М., 1962; [2] Неванлинна Р., Униформизация, пер. с нем., М., 1955; [3] Брело М., Основы классической теории потенциала, пер. с франц., М., 1964.

Е. Д. Соломенцев.

Грина функция в статистической механике - упорядоченная по времени линейная комбинация корреляционных функций, удобная промежуточная величина при расчетах физич. характеристик систем большого числа взаимодействующих частиц.

1) Г. ф. в квантовой статистической механике. Наиболее часто применяются двувре-менные коммутаторные температурные Г. ф.: запаздывающие (ret,+), опережающие (adv, -) и причинные (с), определяемые соотношениями:

Здесь н - зависящие от времени динамич. величины (операторы в пространстве состояний системы в Гейзенберга представлении), через бХХХс обозначено среднее по Гиббса статистическому ансамблю;значение выбирается из соображений удобства. Эффективность применения Г. ф. в значительной степени обусловлена использованием спектральных представлений для их фурье-образов Так, напр., в случае ненулевой температуры для запаздывающих и опережающих Г. ф. справедливо представление:

Здесь - спектральная плотность; , где Т - абсолютная температура, , k- постоянная Больцмана; использована система единиц, в которой , где h - постоянная Планка. Справедлива, в частности, формула:

позволяющая вычислять спектральную плотность (а следовательно, и ряд физич. характеристик системы) через Г. ф. Аналогичные спектральные формулы существуют и для нуля температуры. Особенности (полюса на комплексной плоскости) фурье-образа Г. ф. характеризуют спектр и затухание элементарных возбуждений в системе. Основные источники вычисления Г. ф.: а) приближенное решение бесконечной цепочки зацепляющихся уравнений, к-рая выводится непосредственно из определения Г. ф. путем "расцепления" ее, исходя из тех или иных физич. соображений; б) суммирование "основных" с физич. точки зрения членов рядов теории возмущений (суммирование диаграмм); этот способ применяется в основном при вычислении причинных Г. <ф. и имеет много общего с методикой расчета Г. <ф. в квантовой теории поля. 2)Г. <ф. в классической статистической механике. Вводятся опережающие (ret) и запаздывающие (adv) двувременные Г. ф. путем замены в соответствующих формулах для квантового случая (при ) операторов и на функции динамич. состояния изучаемой классич. системы и коммутатора (квантовые скобки Пуассона) - на классические (обычные) скобки Пуассона; соответственно под бХХХс понимается усреднение по классическому ансамблю Гиббса. Введение причинной Г. ф. здесь теряет смысл из-за коммутативности произведения динамич. величин. Аналогично квантовому случаю, существуют и могут быть эффективно использованы спектральные представления для фурье-образа Г. ф. Основным источником для вычисления классич. Г. ф. служат системы уравнений, получающиеся варьированием по бесконечно малому изменению гамильтониана той или иной системы уравнений для корреляционных функций: Боголюбова цепочки уравнений, системы уравнений гидродинамики и т. д.

Лит.:[1] Боголюбов Н. Н., Тябликов С. В., "Докл. АН СССР", 1959, т. 126, с. 53; [2] Зубарев Д. Н., "Успехи физ. наук", 1960, т. 71, с. 71; [3] Боголюбов Н. Н. (мл.), Садовников Б. И., "Ж. эксперим. и теор. физ.", 1962, т. 43, в. 8, с. 677; [4] их же, Некоторые вопросы статистической механики, М., 1975; [5] Статистическая физика н квантовая теория поля, М., 1973. В. Н. Пленка