Бигармоническая функция

Бигармоническая функция — функция $f(x) = f(x_1,\dots,x_n)$ действительных переменных, определённая в области D евклидового пространства $\R^n,\, n \geq 2$, имеющая непрерывные частные производные 4-го порядка включительно, и удовлетворяющая в D уравнению:

$\nabla^4f= \Delta^2 f = 0$

где $\nabla$ — оператор набла, $\Delta\,$ — оператор Лапласа.

Данное уравнение называется бигармоническим уравнением. В декартовой системе координат в случае трёх переменных уравнение имеет вид:

$\frac{\partial^4 f}{ \partial x^4 } + \frac{\partial^4 f}{ \partial y^4 } + \frac{\partial^4 f}{ \partial z^4 }+ 2\frac{\partial^4 f}{ \partial x^2\partial y^2}+ 2\frac{\partial^4 f}{ \partial y^2\partial z^2}+ 2\frac{\partial^4 f}{ \partial x^2\partial z^2} = 0.$

В полярных координатах:

$\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left(r \frac{\partial}{\partial r} \left(\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left(r \frac{\partial f}{\partial r}\right)\right)\right) + \frac{2}{r^2} \frac{\partial^4 f}{\partial \theta^2 \partial r^2} + \frac{1}{r^4} \frac{\partial^4 f}{\partial \theta^4} - \frac{2}{r^3} \frac{\partial^3 f}{\partial \theta^2 \partial r} + \frac{4}{r^4} \frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2} = 0.$

Класс бигармонических функций включает класс гармонических функций и является подклассом класса полигармонических функций. Каждая бигармоническая функция является аналитической функцией координат x_i.

Наибольшее значение с точки зрения практических применений имеют бигармонические функции $f(x_1,x_2)$ двух переменных. Такие бигармонические функции записываются с помощью гармонических функций f₁, f₂ или g₁, g₂ в виде

$f(x_1,x_2) = x_1 f_1(x_1,x_2) + f_2(x_1,x_2)\,$

или

$f(x_1,x_2) = (r^2 - r_0^2) g_1(x_1,x_2) + g_2(x_1,x_2)\,$

где $r^2=x_1^2 + x_2^2,$ а $r_0^2$ — константа.

Основная краевая задача для бигармонических функций заключается в следующем: найти бигармоническую функцию в области D, непрерывную вместе с производными 1-го порядка в замкнутой области $\bar D = D \cup C$ , удовлетворяющую на границе C условиям

$f |_C = f_1(s), \quad \frac{\partial f}{\partial \nu} \Bigg|_C = f_2(s)$

где $\frac{\partial f}{\partial \nu}$ — производная по нормали до C, f₁(s), f₂(s) — заданные непрерывные функции длины дуги s на контуре C.

Указанные выше представления бигармонических функций позволяют получить решения краевой задачи в явному виде в случае круга D, исходя из интеграла Пуассона для гармонических функций.

Бигармонические функции двух переменных допускают также запись

$f(x_1,x_2) = \operatorname{Re}(\bar z \phi(z) + \psi(z)) = \frac{1}{2} ( \bar z \phi(z) + z\overline { \phi(z)} + \psi(z) + \overline {\psi(z)}), \quad \bar z = x_1 - ix_2$

с помощью двух аналитических функций $\phi(z), \psi(z)$ комплексной переменной $z = x_1 + ix_2$. Это представление позволяет свести краевую задачу для произвольной области D к системе краевых задач для аналитических функций, метод решения которой детально разработан Р. В. Колосовым и Н. И. Мусхелишвили. Эта методика развитие при решении разных плоских задач теории упругости, в которых основным бигармоническими функциями являются функция напряжений и функция Эйри.

См. также

• Гармоническая функция

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Biharmonic Equation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература

• Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 1./ Под ред. И. М. Виноградова. М.: Советская энциклопедия, 1985
• Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966, гл. 4;
• Мусхелишвили Н. И., Некоторые основные задачи математической теории упругости, 5 изд., М., 1966, гл. 2;
• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, 3 изд., М., 1965.