- БИГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
функция
действительных переменных, определенная в области
евклидова пространства
,
, имеющая непрерывные частные производные до 4-го порядка включительно и удовлетворяющая в
уравнению
где D -оператор Лапласа. Это уравнение наз. бигарионическим уравнением. Класс Б. ф. включает класс гармонических функций и является подклассом класса полигармонических функций. Каждая Б. ф. есть аналитич. функция от координат
.
Наибольшее значение с точки зрения приложений имеют Б. ф.
двух переменных. Такие Б. ф. представимы при помощи гармонич. функций
или
в виде
или
где
- постоянная. Основная краевая задача для Б. <ф. состоит в следующем: найти Б. ф. в области
, непрерывную вместе с производными 1-го порядка в замкнутой области
и удовлетворяющую на границе Сусловиям
где
- производная по нормали к
- заданные непрерывные функции дуги
на контуре С. Указанные выше представления Б. ф. позволяют получить решение задачи (*) в явном виде в случае круга D, исходя из интеграла Пуассона для гармонич. функций (см. [1]).
Б. <ф. двух переменных допускают также представление
при помощи двух аналитич. функций
комплексного переменного
. Это представление позволяет свести краевую задачу
для произвольной области
к системе краевых задач для аналитич. функций, метод решения к-рой подробно разработан Г. В. Колосовым и Н. И. Мусхелишвили. Эта методика получила развитие при решении различных плоских задач теории упругости, в к-рых основной Б. ф. является функция напряжений, или Эйри функция (см. [2], [3]).
Лит.:[1] Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966, гл. 4; [2] Мусхелишвили Н. И., Некоторые основные задачи математической теории упругости, 5 изд., М., 1966, гл. 2; [3] Лаврентьев М. А., Ша6ат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, 3 изд., М., 1965.
Е. Д. Соломенцев.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.