- Фундаментальный класс
-
Фундаментальным классом называется гомологический класс ориентированного многообразия, который соответствует «целому многообразию». Интуитивно фундаментальный класс можно себе представить как сумму симплексов максимальной размерности подходящей триангуляции многообразия.
Фундаментальный класс многообразия
обычно обозначается
.
Содержание
Определение
Замкнутое ориентируемое многообразие
Если многообразие
размерности
является связным ориентируемым и замкнутым, то
-ая группа гомологий является бесконечной циклической:
. При этом ориентация многообразия определяется выбором порождающего элемента группы или изоморфизма
. Порождающий элемент называется фундаментальным классом.
Формально несвязному ориентируему многообразию
в качестве фундаментального класса можно сопоставить сумму
фундаментальных классов всех его связных компонент
. Однако, этот элемент не является порождающим группы
.
Неориентируемое многообразие
Для неориентируемого многообразия группа
, если при этом M является связным и замкнутым, то
. Порождающий элемент группы
называется фундаментальным классом неориентируемого многообразия M.
-фундаментальный класс многообразия используется при определении чисел Штифеля — Уитни.
Многообразие с краем
Если M является компактным ориентируемым многообразием с краем
, то n-я относительная группа гомологий является бесконечной циклической:
. Порождающий элемент группы
называется фундаментальным классом многообразия с краем.
Двойственность Пуанкаре
Главный результат гомологической теории многообразий составляет двойственность Пуанкаре между группами гомологий и когомологий многообразия. Соответствующий изоморфизм Пуанкаре
(для ориентируемого) и
(для неориентируемого) многообразия определяется соответствующим фундаментальным классом многообразия:
,
где
обозначает
-умножение гомологических и когомологических классов.
Степень отображения
Если
,
— связные замкнутые ориентированные многообразия одной размерности, и
— непрерывное отображение, то
,
где
— некоторое целое число. Это число называется степенью отображения
и обозначается deg f.
Литература
- А.Т. Фоменко, Д.Б. Фукс. Курс гомотопической топологии — М: Наука, 1989.
- А. Дольд Лекции по алгебраической топологии — М: Мир, 1976.
Категория:- Алгебраическая топология
Wikimedia Foundation. 2010.