- ШТИФEЛЯ ЧИСЛО
- характеристическое число замкнутого многообразия, принимающее значения вычетов по модулю 2. Пусть
- произвольный стабильный характеристич. класс, М - замкнутое многообразие. Вычет по модулю 2, определяемый равенством
наз. числом Штифеля (или Штифеля - Уитни) многообразия М, соответствующим классу х. Здесь
-касательное расслоение многообразия М, а
- фундаментальный класс. Для многообразий размерности n Ш. ч. зависят лишь от однородной компоненты степени пкласса х. Группа
изоморфна векторному пространству над полем
с базисом, находящимся во взаимно однозначном соответствии с множеством всех разбиений w={i1, ..... ik} числа п, т. е. наборов (i1, ..... ik) целых неотрицательных чисел с i1+ .....+ ik = n. В качестве базиса группы
естественно взять классы
Поэтому с точки зрения характеризации многообразия его Ш. ч. достаточно рассматривать классы
где
-разбиение размерности многообразия.
Бордантные многообразия имеют одинаковые Ш. ч., так что каждый характеристич. класс хопределяет гомоморфизмгде
-группа классов бордантных неориентированных многообразий размерности п. Если для двух замкнутых многообразий М, N имеет место равенство
при всех разбиениях
числа
то многообразия Ми N бордантны (теорема Тома).
Пусть А- векторное пространствонад полем
Пусть
-базис в пространстве А, дуальный базису
пространства
здесь
-разбиения числа n; и пусть отображение
определено формулой
Отображениемономорфно и для полного описания группы
в терминах Ш. ч. нужно найти его образ. Эта проблема аналогична проблеме Милнора - Хирцебруха для Чжэня классов. Для замкнутого многообразия Мпусть
т. н. класс By, к-рый однозначно определен равенством
имеющим место при всех
Тогда
где
-касательное расслоение к М(теорема By).
Из этой теоремы видно, что класс By может быть определен как нек-рый характеристич. класс: пустьгде
-полный Штнфеля-Уитни класс, а
-когомологич. операция, обратная к полному Стинрода квадрату Sq. Пусть
- произвольный характеристич. класс. Тогда, для любого замкнутого многообразия числа
и
совпадают. Таким образом, для того чтобы элемент
лежал в образе отображения
необходимо, чтобы для всех
имело место равенство
Для гомоморфизма
тогда и только тогда существует такое многообразие М п, что .[ М п]=а (х) при всех
когда
при всех
(теорема Дольда). Лит. см. при статье Штифеля- Уитни кла сс.
А. Ф. Харшиладзе.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.