ОРИЕНТАЦИЯ

- формализация и далеко идущее обобщение понятия направления обхода. Определяется О. нек-рых специальных классов пространств ( многообразий, векторных расслоений, Пуанкаре комплексов и т. д.). Современный взгляд на О. дается в рамках обобщенных теорий когомологий.

В классич. случае ориентация - выбор одного класса систем координат, связанных между собой положительно в нек-ром определенном смысле. Каждая система задает О., определяя класс, к к-рому она принадлежит.

В случае векторного пространства конечной размерности две системы координат связаны положительно, если положителен определитель матрицы перехода от одной из них к другой. Здесь имеется два класса. В комплексном пространство комплексный репер е ₁, ..., е _п определяет действительный репер e₁ ... , е _п, ie₁, ... , ie_n в том же пространстве, рассматриваемом как , и все такие реперы связаны попарно положительными переходами (т. е. комплексная структура задает О. в ).

На прямой, плоскости и вообще в действительном аффинном пространство Eⁿ системы координат состоят из точки (начала 0) и репера е, переход определяется вектором переноса начала и заменой репера. Этот переход положителен, если положителен определитель матрицы замены (напр., при четной перестановке векторов репера). Две системы координат определяют одну и ту же О., если одну из них можно перевести в другую непрерывно, т. е, существует непрерывно зависящее от параметра семейство координатных систем O_t, e_t, связывающее данные системы 0₀, е ₀ и O₁, е ₁. При отражении в плоскости (размерности п-1) системы двух классов переходят друг в друга.

Классы систем координат можно задавать различными геометрич. фигурами. Если какая-либо фигура Xпо определенному закону связывается с системой координат, то зеркально симметричная ей фигура будет по тому же закону связана с системой координат из другого класса. Тем самым X(вместе с данным ваконом) определит О. Напр., на плоскости E² окружность с фиксированным направлением обхода задает системы координат из одного класса по правилу: начало лежит в ее центре, первый вектор берется произвольно, а второй так, чтобы вращение от первого ко второму через меньший угол происходило в направлении, заданном на окружности. В Е ³ репер можно связать с винтом с точностью до непрерывного вращения и растяжения пространства: первый вектор идет по направлению ввинчивания, вращение от второго вектора к третьему совпадает с вращением при ввинчивании (предполагается при этой, что все винты находятся в положительной связи друг с другом). Репер может быть также задан тремя первыми пальцами руки хорошо известным способом.

Если в Eⁿ задана О., то каждое полупространство

определяет О. на граничной плоскости Е ^n-1. Напр., уславливаются, что если в репере последние п-1 векторов лежат в E^n-1, a первый смотрит наружу из

, то последние векторы задают О. в Е ^п-1. В Е ⁿ О. может быть задана порядком вершин n-мерного симплекса (треугольника в Е ², тетраэдра в Е ³). Репер определяется условием: в первую вершину помещается начало, в остальные из первой направляются векторы репера. Два порядка задают одну О., если и только если они отличаются на четную перестановку. Симплекс с фиксированным с точностью до четной перестановки порядком вершин наз. ориентированным. Каждая ( п-1)-грань s^n-1 ориентированного симплекса получает индуцированную ориентацию: если первая вершина не принадлежит s^n-1, то порядок остальных принимается за положительный для s^n-1.

В связном многообразии Мсистемой координат служит атлас - набор карт, покрывающих М. Атлас наз, ориентирующим, если координатные преобразования все положительны. Это означает, что их степени равны +1, а в случае дифференцируемого многообразия положительны якобианы преобразования во всех точках. Если ориентирующий атлас существует, то многообразие Мназ. ориентируемым.

В этом случае все ориентирующие атласы распадаются на два класса, так что переход от карт одного атласа к картам другого положителен, если и только если атласы принадлежат одному классу. Выбор такого класса наз. ориентацией многообразия. Этот выбор может быть сделан указанием одной карты или локальной О. в точке х ₀ (связные карты, содержащие х ₀, естественным образом распадаются на два класса). В случае дифференцируемого многообразия локальную О. можно задать указанием репера в касательной плоскости в точке х ₀ (напр., вращение на окружности можно задать указанием одного касательного вектора). Если Мимеет край и ориентировано, то край также ориентируем, напр. по правилу: в точке края берется репер, ориентирующий М, первый вектор к-рого направлен из , а остальные векторы лежат в касательной плоскости края; эти последние и принимаются за ориентирующий репер края.

Вдоль любого пути q:[0, 1] М можно выбрать цепочку карт так, что две соседние карты связаны положительно. Тем самым О. в точке q(0) определяет О. в точке q(1), и эта связь зависит от пути qлишь с точностью до его непрерывной деформации при фиксированных концах. Если q - петля, т. е. g(0)=g(l)=x₀, то qназ. дезориентирующим путем, если эти О. противоположны. Возникает гомоморфизм фундаментальной группы p( М, х ₀) в группу порядка 2: дезориентирующие петли переходят в -1, а остальные в +1. По этому гомоморфизму строится накрытие, являющееся двулистным в случае неориентируемого многообразия. Оно наз. ориентирующим (т. к. накрывающее пространство будет ориентируемым). Этот же гомоморфизм определяет над Модномерное расслоение, тривиальное, если и только если Мориентируемо. Для дифференцируемого Моно может быть определено как расслоение Lⁿ (М). дифференциальных форм порядка п. Ненулевое сечение в нем существует лишь в ориентируемом случае и задает форму объема на М и одновременно О. Классифицирующим отображением этого расслоения служит отображение . Многообразие Мориентируемо, если и только если не равен нулю класс , служащий образом класса, двойственного к . Он двойствен циклу, носителем к-рого служит многообразие, являющееся прообразом при отображении k, приведенным в общее положение. Этот цикл наз. ориентирующим, т. к. дополнение к нему ориентируемо: если по нему Мразрезать, то получится ориентируемое многообразие. Само Мориентируемо (неориентируемо), если и только если после разреза получится несвязное многообразие (это дополнение связно). Напр., в ориентирующим циклом служит проективная прямая

Триангулированное многообразие М(или псевдомногообразие) ориентируемо, если можно ориентировать все n-мерные симплексы так, что два симплекса с общей (n-1)-мерной гранью индуцируют на ней противоположные О. Замкнутая цепочка n-мерных симплексов, каждые два соседа в к-рой имеют общую ( п-1)-грань, наз. дезориентирующей, если эти симплексы могут быть ориентированы так, что первый и последний симплексы индуцируют на общей грани совпадающие О., а остальные соседи - противоположные.

О. может быть определена на гомологич. языке: для связного ориентируемого многообразия без края гомологии группа Н _п (М; ) (с замкнутыми носителями) изоморфна , и выбор одной из двух образующих задает О.- отбираются карты с положительными степенями отображений. Для связного многообразия с краем то же верно и для Н _п( М, дМ;). В первом случае ориентируемость есть гомотопич. инвариант М, а во втором - пары ( М, дМ). Так, лист Мёбиуса и кольцо имеют один и тот же абсолютный гомотопич. тип, но разный - относительно края. Локальная О. многообразия может быть также задана выбором образующей в группе , изоморфной . Гомологич. интерпретация О. позволяет перенести это понятие на обобщенные гомологические многообразия.

Пусть над пространством Xзадано расслоение р: со стандартным слоем Fⁿ. Если О. всех слоев можно выбрать так, что любое (собственное) отображение , определенное путем g: однозначно с точностью до собственной гомотопии, сохраняет О., то расслоение наз. ориентированным, а указанный выбор О. слоев - ориентацией расслоения. Напр., лист Мёбиуса, рассматриваемый как векторное расслоение над окружностью, не обладает О., в то время как боковая поверхность цилиндра - обладает.

Понятие О. допускает естественное обобщение и для случая бесконечномерного многообразия, моделированного при помощи бесконечномерного банахова или топологического векторного пространства. При этом необходимы ограничения на линейные операторы, являющиеся дифференциалами функций перехода от карты к карте: они должны не просто принадлежать общей линейной группе всех изоморфизмов моделирующего пространства, к-рая гомотопически тривиальна (в равномерной топологии) для большинства классических векторных пространств, а содержаться в нек-рой линейно несвязной подгруппе общей линейной группы. Тогда компонента связности данной подгруппы и будет задавать "знак" О. В качестве такой подгруцпы обычно выбирается фредгольмова группа, состоящая из тех изоморфизмов моделирующего пространства, для к-рых разность с тождественным изоморфизмом есть вполне непрерывный оператор.

Ориентация в обобщенных теориях когомологий. Пусть - мультипликативная обобщенная теория когомологий (ниже-просто теория).

Имеется единица , и при изоморфизме надстройки ей отвечает элемент , где Sⁿ есть n-мерная сфера.

Пусть x есть n-мерное векторное расслоение над линейно связным пространством Xи пусть Тx, - Тома пространство расслоения x. Пусть i: Sⁿ-> Тx - стандартное вложение, т. е. гомеоморфизм на "слой" над нек-рой точкой . Элемент наз. ориентацией или Тома классом расслоения x,

если , где - некоторый обратимый элемент (напр., e=1). Расслоение, обладающее О., наз. ориентируемым в теории , или просто Е-о риентируемым, а расслоение с выбранной E-ориентацией наз. Е-о риентированным.

Изоморфизм Тома (см. [6]). Множество О. данного E-ориентированного расслоения x над Xнаходится во взаимно однозначном соответствии с элементами группы , где - группа обратимых элементов кольца ( ).

Тривиальное n-мерное расслоение обладает О. в любой теории Е ^п, и если два из трех расслоений x, h, E-ориентируемы, то E-ориентируомо и третье (см. [7]). В частности, E-ориснтируемость расслоения x влечет E-ориентируемость расслоения

Понятие E-ориентируемости вводится и для любого расслоения в смысле Гуревича , слой к-рого гомотопически эквивалентен сфере. Пространством Тома такого расслоения наз. конус отображения р;в остальном определение аналогично. Определение О. векторного расслоения x сводится к этому, если в качестве E взять расслоение на единичные (в нек-рой римановой метрике на x) сферы, ассоциированное с x. E-ориентируемость есть инвариант стационарного послойного гомотопического типа векторного (сферического) расслоения. Расслоение, ориентируемое в одной теории, не обязано быть ориентируемым в другой, но при наличии кольцевого гомоморфизма теорий из E-ориентируемости следует F-ориентируемость.

Примеры. 1) В теории ориентируемо любое векторное (сферическое) расслоение. 2) В теории ориентируемы в точности те расслоения x, для к-рых характеристич. класс Штифеля w₁(x)=0, т. е. ориентируемы те расслоения, к-рые ориентируемы в классич. смысле. 3) Ориентируемость векторного расслоения x в вещественной К-теории эквивалентна тому, что w₁(x)=w₂(x)=0, а в комплексной K-теории - тому, что w₁(x)=0 и w₂(x) - целочисленный элемент [8]. При этом для E-ориентируемости сферич. расслоений это условие необходимо, но не достаточно. 4) Ориентируемость в теории унитарных кобордизмов не охарактеризована (1983); комплексные расслоения U-ориентируемы, но это явно не необходимо. 5) В теории стабильных когомотопич. групп ориентируемы лишь расслоения тривиального стационарного послойного гомотопич. типа.

В задаче описания класса расслоений, ориентируемых в данной теории, имеется следующий общий результат. Пусть топологич. группа Gдействует на и пусть - нек-рая теория. Существует (см. [7], где дана явная конструкция) пространство B(G, E) с универсальным E-ориентированным расслоением над ним, классифицирующее E-ориентированные векторные расслоения со структурной группой G, т. е. для любого (линейно связного) пространства Xмножество E-ориентированных G-векторных расслоений над Xнаходится в естественном взаимно однозначном соответствии с множеством [X, В(G, E)] гомотопич. классов отображений . Это же верно для сферич. расслоений и "хороших" моноидов G.

Обратная задача состоит в описании теории, где данное расслоение (или данный класс расслоений) орионтируемо. Известно, что если в теории ориентируемы все векторные расслоения, то

причем . В этом контексте иногда ослабляют условия на теорию , напр. снимают условие коммутативности умножения и т. д. Для любой теории , в к-рой все комплексные расслоения ориентируемы, имеется гомоморфизм теории , где - теория унитарных кобордизмов, и этот гомоморфизм полностью задается E-ориентацией канонич. расслоения h над . Аналогичное верно и для S_p -расслоений (см. Кобордизм). Построение для любого класса векторных расслоений универсальной теории, отображающейся в любую теорию, где ориентируем данный класс расслоений, еще (1983) не проведено.

Ориентацией (другое название - фундаментальный класс) замкнутого n-мерного многообразия (или, более общо, комплекса Пуанкаре формальной размерности п).в теории наз. такой элемент , что гомоморфизм вида (см. [9]) есть изоморфизм; это - т. н. изоморфизм двойственности Пуанкаре. Оказывается, что многообразие (комплекс Пуанкаре) E-ориентируемо тогда и только тогда, когда E-ориентируемо его нормальное расслоение. Определяется О. и для многообразий (комплексов Пуанкаре) с краем.

Лит.: [1] Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия, М., 1979; [2] Введение в топологию, М,, 1980; [3] Ро хлин В, А,, Фукс Д, Б,, Начальный курс топологии. Геометрические главы, М., 1977;[4] Хьюзмоллер Д., Расслоенные пространства, пер. с англ., М., 1970; [а] Спеньер Э, Алгебраическая топология, пер. с англ., М., 1971; [6] Дольд А., "Математика", 199,5, т. 9, № 2, с. 8- 14; [7] May J., E_oo ring spaces and Е _ooring spectra, В.- N. Y., 1977; [8] Стонг Р., Заметки по теории кобордизмов, пер. с англ., М., 1973; [9] Уайтхед Дж., Новейшие достижения в теории гомотопий, пер. с англ., М., 1974.

Ю. В. Рудяк, А. В. Чернавский.