- ЧЖЭНЯ ЧИСЛО
- характеристическое число квазикомплексных многообразий.
Пусть-произвольный характеристич. класс. Для замкнутого квазикомплексного многообразия М 2n целое число
наз. числом Чжэня многообразия М 2n, соответствующим классу х, здесь
-фундаментальный класс многообразия или ориентация, однозначно определенная квазикомплексной структурой,
-касательное расслоение к М. Если в качестве х взять характеристич. класс с рациональными коэффициентами, то соответствующие ему Ч. ч. будут рациональными. Ч. ч. х[М 2n]зависит лишь от однородной компоненты степени 2пкласса х. Ч. ч. инвариантны относительно квазикомплексного бордизма, следовательно, характеристич. класс хиндуцирует гомоморфизм
Разбиением числа пназ. наборцелых неотрицательных чисел с i+ ... + ik=n. Если для квазикомплексных многообразий М, N размерности 2п при всех разбиениях w числа п имеет место равенство
(см. Чжэня класс), то многообразия Ми Nкобордантны (в квазикомплексном смысле).
Пусть А- свободная абелева группа с базисомнаходящимся во взаимно однозначном соответствии со всеми разбиениями числа n. Приведенная теорема утверждает, что гомоморфизм
мономорфен. Ниже дано описание образа гомоморфизма(задача Милнора - Хирцебруха). Другими словами, какие наборы целых чисел
заданных для всех разбиений
числа п, являются Ч. ч. квазикомплексного многообразия? Ч. ч. можно определить в произвольной мультипликативной ориентированной теории когомологий h*, только в этом случае Ч. ч. квазикомплексного многообразия будет элементом кольца h*(pt). Для теории когомологий h* определена двойственная ей теория гомологии h*, и так как h* ориентирована и мультипликативна, то для каждого квазикомплексного многообразия Мможет быть однозначно определен фундаментальный класс
где
Далее, как и в обычной теории, имеется спаривание
Если
то применение хк
относительно этого спаривания обозначается
Для характеристич. класса усо значениями в h* и замкнутого квазикомплексного многообразия Мэлемент
наз. числом Чжэня в теории h*. Предыдущие соображения применимы и к К-теории. Пусть М - квазикомплексное многообразие (возможно, с краем),
- произвольный элемент. Тогда целое число
может быть вычислено по формуле:
где Т-Тодда класс, задаваемый рядом
Если многообразие Мзамкнуто, то приполучается {1, [M]k}=Т[М]. Характеристич. число Т[М]наз. родом Тодда многообразия Ми является целым числом для любого замкнутого квазикомплексного многообразия. Часто Т[М]обозначают Td (M).
Касательные многообразия представляют собой один из важных примеров квазикомплексных многообразий. Пусть M-замкнутое действительное многообразие размерности п. Многообразие TN всех касательных векторов к Nимеет естественную структуру квазикомплексного многообразия:i( х, у)=-( у, -х). Пусть на Nвыбрана риманова метрика и через
обозначено многообразие с краем, образованное всеми векторами длины, не превосходящей единицы. Если
то целое число
наз. топологическим индексом элемента
Если
есть класс символа эллиптич. оператора D, заданного на многообразии N, то
(теорема Атьи - Зингера), а приведенная выше формула для вычисления числа
приводит к когомологич. форме теоремы об индексе.
Для наборацелых неотрицательных чисел и замкнутого квазикомплексного многообразия Мразмерности 2ппусть
-Ч. ч. в K-теории:
а-обычное Ч. ч.
Число
может быть отлично от нуля лишь тогда, когда
- разбиение числа п. Число
может быть отлично от нуля при наборах
Любой гомоморфизм
может быть представлен в виде линейной комбинации с целыми коэффициентами гомоморфизмов
при
где
(теорема Стонга - Хаттори). Характеристич. числа
при
мотут быть представлены в виде
где-рациональные коэффициенты, а М- любое замкнутое квазикомплексное многообразие размерности 2 п. Пусть а произвольный элемент из группы А,
Тогда элемент
принадлежит образу гомоморфизма j:
тогда и только тогда, когда
- целое число для всех наборов
Лит. см. при статье Чжзня класс.
А. Ф. Харшиладзе.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.