Параметризованный постньютоновский формализм

Общая теория относительности

$G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = {8\pi G\over c^4} T_{\mu \nu}\,$

Гравитация Математическая формулировка Космология

Фундаментальные принципы Специальная теория относительности · Пространство-время · Принцип эквивалентности · Мировая линия · Псевдориманова геометрия Явления Задача Кеплера в ОТО · Гравитационное линзирование · Гравитационные волны · Увлечение инерциальных систем отсчёта · Расхождение геодезических · Горизонт событий · Гравитационная сингулярность · Чёрная дыра Уравнения Уравнения Эйнштейна · Линеаризованная ОТО · Постньютоновский формализм Развитие теории Параметризованный постньютоновский формализм · Теории типа Калуцы — Клейна · Квантовая гравитация · Альтернативные теории Решения Шварцшильда · Райсснера — Нордстрёма · Керра · Керра — Ньюмена · Гёделя · Казнера · Фридмана — Леметра — Робертсона — Уолкера Приближённые решения: Постньютоновский формализм · Ковариантная теория возмущений · Численная относительность Журналы General Relativity and Gravitation · Classical and Quantum Gravity · Гравитация и космология · Living Reviews in Relativity Известные учёные Эйнштейн · Минковский · Шварцшильд · Леметр · Эддингтон · Фридман · Робертсон · Фок · Керр · Чандрасекар · Пенроуз Хокинг и другие…

См. также: Портал:Физика

Постнью́тоновский формали́зм (ПН формали́зм) — это вычислительный инструмент, который позволяет получать решения нелинейных уравнений Эйнштейна для движущихся тел как ряды по формальному малому параметру, который ассоциируется с обратной величиной квадрата скорости света (точнее, скорости гравитации) $c^{-2}$. Первым членом таких рядов оказывается ньютонова теория гравитации, последующие её уточняют. О членах, содержащих скорость света в степени $-n$, говорят как о членах n/2-ПН порядка, например, гравитационное излучение появляется в 2,5ПН-порядке, то есть его члены впервые появляются при разложении до $c^{-5}$.

Сходимость рядов постньютоновского формализма представляет собой сложную математическую проблему. Постньютоновский формализм применим в случае слабых гравитационных полей, в сильных полях использование его проблематично из-за проблем сходимости, и обычно используется прямой вычислительный подход интегрирования уравнений Эйнштейна — численная относительность.

Параметризо́ванный постнью́тоновский формали́зм (ППН формали́зм) — это версия ПН формализма, применимая не только к общей теории относительности, но и к другим метрическим теориям гравитации, когда движения тел удовлетворяют принципу эквивалентности Эйнштейна. В таком подходе явно выписываются все возможные зависимости гравитационного поля от распределения материи вплоть до соответствующего порядка $c^{-2}$ (обычно ограничиваются первым порядком) и составляется наиболее общее выражение для решения уравнений гравитационного поля и движения материи. Различные теории гравитации при этом предсказывают различные значения коэффициентов — так называемых ППН параметров — в общих выражениях. Это приводит к потенциально наблюдаемым эффектам, экспериментальные ограничения которых приводят к ограничениям на ППН параметры, и соответственно — к ограничениям на теории гравитации, их предсказывающие. Можно сказать, что ППН параметры описывают различия между ньютоновой и описываемой теорией гравитации. ППН формализм применим когда гравитационные поля слабы, а скорости движения формирующих их тел малы по сравнению со скоростью света (точнее, скоростью гравитации).

История

Первая параметризация постньютоновского приближения принадлежит перу Эддингтона (Eddington, 1922). В ней рассматривалось, впрочем, только гравитационное поле в вакууме вокруг сферически-симметричного статического тела. Нордтведт (Nordtvedt, 1968, 1969) расширил формализм до 7 параметров, а Уилл (Will, 1971) ввёл в него описание небесных тел как протяжённых распределений тензора энергии-импульса.

Версии формализма, применяющиеся чаще всего и описанные ниже, базируются на работах Ни (Ni, 1972), Уилла и Нордтведта (Will and Nordtvedt, 1972), Мизнера, Торна и Уилера (Charles W. Misner et al., 1973) (править] Бета-дельта вариант (Beta-delta notation)

Десять постньютоновских параметров (ППН параметров) полностью характеризуют поведение метрической теории гравитации в пределе слабого поля. ППН формализм показал себя ценным инструментом для проверки общей теории относительности. В обозначениях Уилла (Will, 1971), Ни (Ni, 1972) и Мизнера, Торна и Уилера (Misner et al., 1973) ППН параметры имеют следующее значение:

$\gamma$	Насколько сильная пространственная кривизна в $g_{ij}$ генерируется единицей массы покоя?
$\beta$	Насколько велика нелинейность в $g_{00}$ при сложении гравитационных полей?
$\beta_1$	Как много тяготения в $g_{00}$ производится единицей кинетической энергии $\textstyle\frac12\rho_0v^2$?
$\beta_2$	Как много тяготения в $g_{00}$ производится единицей гравитационной потенциальной энергии $\rho_0/U$?
$\beta_3$	Как много тяготения в $g_{00}$ производится единицей внутренней энергии тела $\rho_0\Pi$?
$\beta_4$	Как много тяготения в $g_{00}$ производится единицей давления $p$?
$\zeta$	Разница между проявлением радиальной и трансверсальной кинетической энергией в тяготении в $g_{00}$
$\eta$	Разница между проявлением радиальных и трансверсальных напряжений в тяготении в $g_{00}$
$\Delta_1$	Как много увлечения инерциальных систем отсчёта в $g_{0j}$ производится единицей импульса $\rho_0v$?
$\Delta_2$	Разница между степенью увлечения инерциальных систем отсчёта в радиальном и трансверсальном направлении

$g_{\mu\nu}$ — симметричный метрический тензор 4 на 4, а пространственные индексы $i$ и $j$ пробегают значения от 1 до 3.

В теории Эйнштейна эти параметры соответствуют тому, что (1) для малых скоростей движения тел и их масс восстанавливается ньютоново тяготение, (2) выполняются законы сохранения энергии, массы, импульса и момента импульса, и (3) уравнения теории не зависят от системы отсчёта. В таких обозначениях общая теория относительности имеет ППН параметры

$\gamma=\beta=\beta_1=\beta_2=\beta_3=\beta_4=\Delta_1=\Delta_2=1$ и $\zeta=\eta=0.$

Альфа-зета вариант (Alpha-zeta notation)

В более современной версии Уилла и Нордтведта (1972), используемой также в работах Уилла (1981, 1993, 2006), применяется другой эквивалентный набор из 10 ППН параметров.

$\gamma=\gamma$,

$\beta=\beta$,

$\alpha_1=7\Delta_1+\Delta_2-4\gamma-4$,

$\alpha_2=\Delta_2+\zeta-1$,

$\alpha_3=4\beta_1-2\gamma-2-\zeta$,

$\zeta_1=\zeta$,

$\zeta_2=2\beta+2\beta_2-3\gamma-1$,

$\zeta_3=\beta_3-1$,

$\zeta_4=\beta_4-\gamma$,

$\xi$ получается из $3\eta=12\beta-3\gamma-9+10\xi-3\alpha_1+2\alpha_2-2\zeta_1-\zeta_2$.

Смысл параметров $\alpha_1$, $\alpha_2$ и $\alpha_3$ при этом — степень проявления эффектов предпочтительной системы отсчёта (эфира). $\zeta_1$, $\zeta_2$, $\zeta_3$, $\zeta_4$ и $\alpha_3$ измеряют степень нарушения законов сохранения энергии, импульса и момента импульса.

В этих обозначениях ППН параметры ОТО есть

$\gamma=\beta=1$ и $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=\zeta_1=\zeta_2=\zeta_3=\zeta_4=\xi=0.$

Вид метрики альфа-зета варианта:

$\begin{matrix}g_{00} = -1+2U-2\beta U^2-2\xi\Phi_W+(2\gamma+2+\alpha_3+\zeta_1-2\xi)\Phi_1 +2(3\gamma-2\beta+1+\zeta_2+\xi)\Phi_2 \\ \ +2(1+\zeta_3)\Phi_3+2(3\gamma+3\zeta_4-2\xi)\Phi_4-(\zeta_1-2\xi)A-(\alpha_1-\alpha_2-\alpha_3)w^2U \\ \ -\alpha_2w^iw^jU_{ij}+(2\alpha_3-\alpha_1)w^iV_i+O(\varepsilon^3) \end{matrix}$

$g_{0i}=-\textstyle\frac12(4\gamma+3+\alpha_1-\alpha_2+\zeta_1-2\eta)V_i-\textstyle\frac12(1+\alpha_2-\zeta_1+2\xi)W_i -\textstyle\frac12(\alpha_1-2\alpha_2)w^iU-\alpha_2w^jU_{ij}+O(\varepsilon^{\frac52})\;,$

$g_{ij}=(1+2\gamma U)\delta_{ij}+O(\varepsilon^2)\;,$

где по повторяющимся индексам предполагается суммирование, $\varepsilon^2$ определяется как максимальное в системе значение ньютонова потенциала $U$, квадрата скорости материи или подобных величин (они все имеют один порядок величины), $w^i$ — скорость ППН координатной системы относительно выделенной системы покоя, $w^2=w^iw^j\delta_{ij}$ — квадрат этой скорости, а $\delta_{ij}=1$ если $i=j$ и $0$ в противоположном случае — символ Кронекера.

Есть только десять метрических потенциалов: $U$, $U_{ij}$, $\Phi_W$, $A$, $\Phi_1$, $\Phi_2$, $\Phi_3$, $\Phi_4$, $V_i$ и $W_i$, столько же, как и ППН параметров, что гарантирует единственность ППН решения для каждой теории гравитации. Форма этих потенциалов напоминает гравитационный потенциал ньютоновской теории — они равны определённым интегралам по распределению материи, например,

$U(\mathbf{x},t)=\int{\rho_0\over|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}d^3x'.$

Полный список определений метрических потенциалов см. в работах Мизнера, Торна, Уилера (Misner et al., 1973), Уилла (Will, 1981, 1993, 2006) и др.

Процедура получения ППН параметров из теории гравитации

Примеры анализа можно найти в книге Уилла (1985). Процесс состоит из девяти стадий:

• Шаг 1: Определение переменных: (a) динамические гравитационные переменные, такие как метрика $g_{\mu\nu}\,$, гравитационное скалярное $\phi\,$, векторное $K_\mu\,$ и/или тензорное поле $B_{\mu\nu}\,$ и т. п.; (b) переменные предпочтительной геометрии, такие как плоская фоновая метрика $\eta_{\mu\nu}\,$, космологическое время $t\,$ и т. п.; (c) переменные материальных (негравитационных) полей.

• Шаг 2: Установление космологических граничных условий: предполагая вселенную Фридмана (однородную и изотропную), вводим изотропные координаты в системе покоя Вселенной (полное космологическое решение для этого нужно не всегда). Полученные фоновые космологические поля называем $g^{(0)}_{\mu\nu}=\mbox{diag}(-c_0,c_1,c_1,c_1)\,$, $\phi_0\,$, $K^{(0)}_\mu\,$, $B^{(0)}_{\mu\nu}\,$.

• Шаг 3: Вводим новые переменные $h_{\mu\nu}=g_{\mu\nu}-g^{(0)}_{\mu\nu}\,$, а если необходимо, то и $\phi-\phi_0\,$, $K_\mu-K^{(0)}_\mu\,$, $B_{\mu\nu}-B^{(0)}_{\mu\nu}\,$.

• Шаг 4: Подставляем полученные выражения и тензор энергии-импульса материи (обычно идеальной жидкости) в уравнения гравитационного поля и отбрасываем члены слишком высокого порядка для $h_{\mu\nu}\,$ и прочих динамических гравитационных переменных.

• Шаг 5: Решаем уравнения для $h_{00}\,$ с точностью до $O(2)\,$. Предполагая эту величину стремящейся к нулю вдали от системы, получаем форму $h_{00}=2\alpha U\,$, где $U\,$ — гравитационный потенциал Ньютона, а $\alpha\,$ может быть сложной функцией, включающей гравитационную "постоянную" $G\,$. Ньютонова метрика имеет форму $g_{00}=-c_0+2\alpha U\,$, $g_{0j}=0\,$, $g_{ij}=\delta_{ij}c_1\,$. Переходим к единицам, в которых гравитационная "постоянная", измеренная сейчас вдали от гравитирующей материи, равна единице $G_{\mbox{today}} = \alpha/c_0 c_1=1\,$.

• Шаг 6: Из линеаризованной версии полевых уравнений получаем $h_{ij}\,$ с точностью до $O(2)\,$ и $h_{0j}\,$ с точностью до $O(3)\,$.

• Шаг 7: Находим $h_{00}\,$ с точностью до $O(4)\,$. Это самый сложный этап, так как уравнения тут становятся нелинейными. Тензор энергии-импульса также нужно разложить до нужного порядка.

• Шаг 8: Переходим в стандартную ППН калибровку.

• Шаг 9: Сравнивая результирующую метрику $g_{\mu\nu}\,$ с известным ППН выражением, определяем ППН параметры теории.

Сравнение теорий гравитации

Основная статья: Альтернативные теории гравитации#ППН параметры для различных теорий

Таблица, представляющая ППН параметры 23 теорий гравитации, находится в статье «Альтернативные теории гравитации».

Большинство метрических теорий можно разделить по нескольким категориям. Скалярные теории гравитации включают конформно-плоские теории и стратифицированные теории с пространственными сечениями, строго ортогональными временному направлению.

В конформно-плоских теориях, например, теориях Нордстрёма, метрика равна $\mathbf{g}=f\boldsymbol{\eta}\,$ и поэтому $\gamma=-1\,$, что абсолютно несовместимо с наблюдениями. В стратифицированных теориях, например, Yilmaz theory of gravitation, метрика равна $\mathbf{g}=f_1\mathbf{d}t \otimes \mathbf{d} t +f_2\boldsymbol{\eta}\,$ и, следовательно, $\alpha_1=-4(\gamma+1)\,$, что опять-таки противоречит наблюдениям.

Другой класс теорий — квазилинейные теории типа теории Уайтхэда. Для них $\xi=\beta\,$. Так как относительные амплитуды гармоник земных приливов зависят от $\xi$ и $\alpha_2$, то их измерения позволяют отклонить все подобные теории, исключая такое большое значение $\xi$.

Ещё один класс теорий — биметрические теории. Для них $\alpha_2\,$ не равно 0. Из данных по прецессии оси вращения Солнца мы знаем, что $\alpha_2 < 4\times 10^{-7}\,$, и это эффективно отклоняет биметрические теории.

Далее идут скалярно-тензорные теории, например, теория Бранса — Дике. Для таких теорий в первом приближении $\gamma=\textstyle\frac{1+\omega}{2+\omega}\,$. Предел $\gamma-1<2.3\times10^{-5}\,$ даёт очень малое $1/\omega\,$, которое характеризует степень «скалярности» гравитационного взаимодействия, а по мере уточнения экспериментальных данных предел на $\omega\,$ всё продолжает увеличиваться, так что такие теории становятся всё менее вероятными.

Последний класс теорий — векторно-тензорные теории. Для них гравитационная «постоянная» изменяется со временем и $\alpha_2\,$ не равно 0. Лазерная локация Луны сильно ограничивает вариацию гравитационной «постоянной» и $\alpha_2 < 4\times 10^{-7}\,$, так что эти теории также не выглядят надёжными.

Некоторые метрические теории не попадают в выделенные категории, но имеют подобные проблемы.

Экспериментальные ограничения на ППН параметры

Значения взяты из обзора Уилла (2006)

Параметр	Границы	Эффекты	Эксперимент
$\gamma-1$	$2.3$ x $10^{-5}$	Эффект Шапиро, Отклонение света	Траектория «Кассини — Гюйгенса»
$\beta-1$	$2.3$ x $10^{-4}$	Эффект Нордтведта, Сдвиг перигелия	Nordtvedt effect
$\xi$	$0.001$	Приливы	Гравиметрия
$\alpha_1$	$10^{-4}$	Orbit polarization	Лазерная локация Луны
$\alpha_2$	$4$ x $10^{-7}$	Прецессия оси вращения	Наклон оси вращения Солнца к эклиптике
$\alpha_3$	$4$ x $10^{-20}$	Самоускорение	Статистика замедления пульсаров
$\zeta_1$	$0.02$	-	Комбинированный предел разных экспериментов
$\zeta_2$	$4$ x $10^{-5}$†	Ускорение двойных пульсаров	PSR 1913+16
$\zeta_3$	$10^{-8}$	Третий закон Ньютона	Ускорение Луны
$\zeta_4$	$0.006$‡	-	Kreuzer experiment

† Will, C.M., Is momentum conserved? A test in the binary system PSR 1913 + 16, Astrophysical Journal, Part 2 - Letters (ISSN 0004-637X), vol. 393, no. 2, July 10, 1992, p. L59-L61.

‡ По $6\zeta_4=3\alpha_3+2\zeta_1-3\zeta_3$ из работ Уилла (1976, 2006). Теоретически в некоторых теориях гравитации возможен обход этого ограничения, тогда применим более слабый предел $|\zeta_4|< 0.4$ из статьи Ни (1972).

Литература

• Мизнер, Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. В 3-х тт. — М.: Мир, 1977. — Перевод Misner, C. W., Thorne, K. S. & Wheeler, J. A. (1973)
• Уилл К. (1985) Теория и эксперимент в гравитационной физике: Пер. с англ. — М.: Энергоатомиздат, 1985. — 296 с. — Перевод Will, C. M. (1981)
• Eddington, A. S. (1922) The Mathematical Theory of Relativity, Cambridge University Press.
• Misner, C. W., Thorne, K. S. & Wheeler, J. A. (1973) Gravitation, W. H. Freeman and Co.
• Nordtvedt Jr, K. (1968) Equivalence principle for massive bodies II: Theory, Phys. Rev. 169, 1017-1025.
• Nordtvedt Jr, K. (1969) Equivalence principle for massive bodies including rotational energy and radiation pressure, Phys. Rev. 180, 1293-1298.
• Will, C. M. (1971) Theoretical frameworks for testing relativistic gravity II: Parameterized post-Newtonian hydrodynamics and the Nordtvedt effect, Astrophys. J. 163, 611-628.
• Will, C.M. (1976) Active mass in relativistic gravity: Theoretical interpretation of the Kreuzer experiment, Astrophys. J., 204, 224-234.
• Will, C. M. (1981, 1993) Theory and Experiment in Gravitational Physics, Cambridge University Press. ISBN 0-521-43973-6.
• Will, C. M., (2006) The Confrontation between General Relativity and Experiment
• Will, C. M., and Nordtvedt Jr., K (1972) Conservation laws and preferred frames in relativistic gravity I, The Astrophysical Journal 177, 757.

См. также

• Альтернативные теории гравитации#ППН параметры для различных теорий
• Линеаризованная гравитация
• Tests of general relativity
• Параметры Пескина — Такеши — аналог ППН формализма в электрослабой теории

Теории гравитации
Стандартные теории гравитации	Альтернативные теории гравитации	Квантовые теории гравитации	Единые теории поля
Классическая физика Теория тяготения Ньютона Релятивистская физика Общая теория относительности Математическая формулировка общей теории относительности Гамильтонова формулировка общей теории относительности Принципы Принцип эквивалентности сил гравитации и инерции Принцип Маха Геометродинамика (англ.)	Классические Теория гравитации Лесажа Модифицированная ньютоновская динамика Релятивистские Релятивистская теория гравитации Калибровочная теория гравитации Гравитация с массивным гравитоном Телепараллелизм Теория Нордстрёма Теория Бранса — Дикке Биметрические теории гравитации Несимметричные теории гравитации Теория гравитации Уайтхеда (англ.) Теория Эйнштейна — Картана	Каноническая квантовая гравитация Петлевая квантовая гравитация Полуклассическая гравитация (англ.) Причинная динамическая триангуляция (англ.) Евклидова квантовая гравитация Уравнение Уилера — Девитта (англ.) Индуцированная гравитация (англ.) Некоммутативная геометрия (англ.)	Многомерные Общая теория относительности в многомерном пространстве Теория Калуцы — Клейна Супергравитация Струнные Теория струн Теория суперструн М-теория Прочие Исключительно простая теория всего