МИНИМАЛЬНЫЙ ИДЕАЛ

- минимальный элемент частично упорядоченного множества идеалов определенного типа нек-рой алгебраич. системы. Поскольку порядок в множестве идеалов определяется отношением включения, М. и.- идеал, не содержащий отличных от себя идеалов того же типа. Для мультиоператорных групп (в частности, для колец) и для решеток, в отличие от полугрупп, всегда предполагается, что рассматриваемое частично упорядоченное множество идеалов не содержит нулевого идеала. Если класс идеалов специально не оговорен, то под М. и. понимают минимальный элемент в множестве всех (ненулевых) двусторонних идеалов.

Минимальный двусторонний идеал, если такой существует в полугруппе S, будет единственным минимальным двусторонним идеалом и является наименьшим двусторонним идеалом; он наз. ядром полугруппы S. Не всякая полугруппа обладает ядром (пример - бесконечная моногенная полугруппа), но, напр., ядро есть у любой конечной полугруппы. Ядро является идеально простой полугруппой (см. Простая полугруппа). Если ядро полугруппы Sесть группа, то Sназ. гомогруппой. Полугруппа Sбудет гомогруппой тогда и только тогда, когда в Sсуществует элемент z, делящийся слева и справа на любой элемент из S(то есть для любого ); в этом случае ядро состоит из всех таких элементов. Гомогруппой будет, напр., всякая конечная коммутативная полугруппа.

Если полугруппа Sобладает минимальным левым идеалом (м. л. и.) L, то для любого xUS произведение Lx также будет м. л. и., причем всякий м. л. и. может быть получен таким образом. Каждый м. л. и. есть простая слева полугруппа. В полугруппе с м. л. и. каждый левый идеал содержит нек-рый м. л. и., объединение всех м. л. и. (к-рые попарно не пересекаются) является ядром полугруппы. Если полугруппа Sобладает м. л. и. L и минимальным правым идеалом (м. п. и.) R, то RЗ L=RL есть подгруппа в S, и L= Se, R = eS, где е- единица этой подгруппы, произведение LR совпадает с ядром полугруппы S, являющимся в этом случае вполне простой полугруппой.

Для полугрупп с нулем содержательным является рассмотрение ненулевых идеалов, и минимальный элемент в соответствующем частично упорядоченном множестве идеалов наз. 0-минимальным (левым, правым, двусторонним) идеалом. Свойства 0-минимальных идеалов (0-м. и.) во многом повторяют свойства М. и., с нек-рыми естественными оговорками. Напр., 0-минимальный двусторонний идеал не обязательно единствен и не обязательно будет 0-простой полугруппой; он может быть и полугруппой с нулевым умножением (см. Нилъпотентная полугруппа). Объединение всех 0-минимальных левых идеалов (соответственно 0-минимальных правых идеалов) полугруппы с нулем наз. ее левым (соответственно правым) цоколем (по определению, цоколь равен нулю, если соответствующих 0-м. и. в полугруппе нет). Полугруппа совпадает со своими левым и правым цоколями тогда и только тогда, когда она есть 0-прямое объединение вполне 0-простых полугрупп и полугруппы с нулевым умножением.

Рассмотрение тех или иных М. и. и 0-м. и. играет существенную роль в структурной теории ряда важных классов полугрупп (см., напр., Вполне простая полугруппа, Регулярная полугруппа, а также [1] § 2.5, 2.7, гл. 6, §§ 7.7, 8.2, 8.3; [2] гл. V). Л. Н. Шеврин.

Кольца (как и полугруппы) не обязаны обладать М. и. (простейший пример - кольцо целых чисел), и М. и. в кольце, если он существует, не обязан быть единственным. Сумма всех (левых, правых, двусторонних) М. и. кольца наз. (соответственно левым, правым, двусторонним) цоколем кольца. Все артиноеы кольца, очевидно, обладают ненулевым цоколем. Наличие М. и. в примитивном кольце делает его близким к матричному в следующем смысле: примитивное кольцо с ненулевым цоколем изоморфно нек-рому плотному подкольцу кольца всех линейных преобразований нек-рого векторного пространства над телом, содержащему все преобразования конечного ранга [3]. В. Е. Говоров.

Лит.:[1] Клиффорд А., Престон Г., Алгебраическая теория полугрупп, пер. с англ., М., 1972; [2] Ляпин Е. С, Полугруппы, М., 1960; [3] Джекобсон Н., Строение колец, пер. с англ., М., 1961.