- НЕРАЗВЕТВЛЕННЫЙ ИДЕАЛ
- простой идеал
поля алгебраич. чисел К, лежащий над таким простым числом р, что главный идеал (р) имеет в поле Кразложение в произведение простых идеалов вида
причем
. Точнее этот идеал наз. абсолютно неразветвленным. В общем случае, пусть А- дедекиндово кольцо с полем частных к, К - конечное расширение поля k и В- целое замыкание Ав К. Простой идеал
кольца В, лежащий над идеалом
кольца А, наз. неразветвленным в расширении K/k, если
где
- попарно различные простые идеалы кольца В,
и e1=1. Если все идеалы
не разветвлены, то иногда говорят, что идеал
остается неразветвленным в Klk. Для расширения Галуа Klk неразветвленность идеала
кольца Вэквивалентна тому, что подгруппа разложения
в группе Галуа G(K/k )совпадает с группой Галуа расширения полей вычетов
. В любых конечных расширениях полей алгебраич. чисел все идеалы, кроме конечного числа, не разветвлены.
Лит.:[1] Боревич 3. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972; [2] Ленг С, Алгебраические числа, пер. с англ., М., 1966; [3] Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М., 1969.
Л. В. Кузьмин.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.