МАКСИМАЛЬНЫЙ ИДЕАЛ

максимальный элемент в частично упорядоченном множестве тех или иных собственных идеалов соответствующей алгебраич. системы. М. и. играют существенную роль в теории колец. Всякое кольцо с единицей обладает левыми (а также правыми и двусторонними) М. и. Фактормодуль M-R/I левого (соответственно правого) Л-модуля Л по левому (соответственно правому) М. и. I является неприводимым; гомоморфизм j кольца Л в тело эндоморфизмов модуля М- представление кольца Л. Ядро всех таких представлений, т. е. множество элементов кольца, переходящих в нуль при всех его представлениях, наз. радикалом Джекоб с она кольца Л, оно совпадает с пересечением всех левых (а также всех правых) М. и.

В кольце R = С [ а, b] непрерывных действительных функций на отрезке [ а, b] множество всех функций, обращающихся в нуль в фиксированной точке x₀, является М. и. Такими идеалами исчерпываются все М. и. кольца Л. Это соответствие между точками отрезка и М. и. кольца Л привело к построению различных теорий, представляющих кольца, как кольца непрерывных функций на нек-ром топологич. пространстве.

Зариского топология, вводимая на множестве простых идеалов Spec Л кольца Л, обладает слабыми свойствами отделимости (т. е. существуют незамкнутые точки). Аналогичная топология в некоммутативном случае вводится на множестве Spec R примитивных идеалов, являющихся аннуляторами неприводимых R-модулей. Множество М. и., а в некоммутативном случае - примитивных М. и., образует подпространство к-рое удовлетворяет аксиоме отделимости Т ₁.

Лит.:[1]ДжекоОсон Н., Строение колец, пер. с англ., М., 1961. В. Е. Говоров.

В теории полугрупп М. и. играют меньшую роль, нежели минимальные идеалы. Если М - максимальный двусторонний идеал (м. д. и.) полугруппы S, то либо М=S{а}, где а - нек-рый неразложимый элемент из S(т. е. ), либо Месть простой иде-а л (т. е. для любых идеалов А, Виз следует или ); отсюда следует, что в Sвсякий м. д. и. будет простым тогда и только тогда, когда S²=S. В полугруппе Sс м. д. и. простой идеал будет максимальным тогда (и, очевидно, только тогда), когда Рсодержит пересечение I всех м. д. и. из S. Фактор-полугруппа Риса S/I есть 0 -прямое объединение полугрупп, каждая из к-рых либо 0-простая, либо двухэлементная нильпотентная.

Иногда полугруппа Sс собственными левыми идеалами может иметь среди таких идеалов наибольший L* (т. е. содержащий все другие собственные левые идеалы); это, напр., выполняется, если Sобладает правой единицей. Если в этом случае множество SL* неодноэлементно, то оно является подполугруппой. В периодич. полугруппе 5 из существования L * вытекает, что L* будет (наибольшим собственным) двусторонним идеалом. Другой пример такой же ситуации доставляют подгруппы с отделяющейся групповой частью (см. Обратимый элемент), не являющиеся группами.

Лит.:[1] S с h w а r z S., "Чехосл. матем. ж.", 1953, т. 3, №2, с. 139-53; т. 4, с. 305-83; [2] е г о же, там же, 1969, т. 19, № 1, с. 72-9; [3] G r i 1 1 е t P. A., "Amer. Math. Monthly", 1969, v. 76, № 5, p. 503-09. Л. Н. Шеврин.