МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ СИСТЕМА

с ожиданием многоканальная - система массового обслуживания, алгоритм к-рой предусматривает накапливание вызовов в очереди, если в момент их прихода система оказалась занятой; при этом обслуживание вызовов ведется в нескольких каналах одновременно. Основные определения и обозначения см. в ст. Массового обслуживания система.

Функционирование многоканальных систем с очередью, управляемых последовательностью происходит следующим образом. Вызовы прибывают в моменты времени На обслуживание вызова с номером j тратится время в каком бы из каналов ни обслуживался этот вызов. Пришедшие вызовы тут же направляются (в порядке поступления) в любой свободный канал, если каналы не все заняты, или ждут, когда освободится какой-нибудь из каналов, куда и поступают на обслуживание. Пусть для простоты в момент времени t=0 система свободна.

1) Для наглядности изложения использованы следующие обозначения: - вектор времени ожидания n-го вызова, где w_n,j - время, к-рое должен ждать этот вызов до освобождения i каналов от вызовов, пришедших раньше, чем он; так что w_n,1 - "истинное" время ожидания. Пусть, кроме того,

а вектор получен из упорядочиванием по возрастанию его координат (так что первая координата равна min(x₁, . . ., х _т)).Тогда имеет место следующее рекуррентное соотношение для обобщающее свой одномерный аналог

Если последовательность и то существует собственная последовательность удовлетворяющая (1) и такая, что функция распределения при монотонно сходится к функции распределения Это утверждение допускает обобщение на случай и распространяется также на длину q_n очереди в момент прихода n-го вызова (под q_n понимают очередь, включая вызовы, находящиеся на обслуживании). Существуют формулы, связывающие предельные распределения для и q_n.

Если то (1) позволяет записать интегральное уравнение для стационарного распределения w⁰. В этом случае можно указать также простые связи между стационарными распределениями длины очереди и времени ожидания. Именно, если означает k-ю координату вектора то при существуют

Если

то

Здесь все случайные величины, стоящие под знаком вероятности, независимы.

Если, кроме того, распределение нерешетчато, то аналогичные формулы верны и для предельного распределения q(t). Если то

2) Если то можно указать явные формулы для предельных распределений q_n, q(t), Пусть а - показатель распределения и Тогда числа

описываются как известного вида рациональные функции от значений m, и где m - единственный корень в области |m|<1 уравнения

Если k>m, то

причем Аот k не зависит. Для предельного распределения времени ожидания

имеет место равенство

Если - нерешетчатая случайная величина, то существуют

где

В случае

где

3) Теоремы устойчивости (о непрерывной зависимости стационарного распределения от распределений и ) получены в менее общей форме, чем для одноканальных систем, и связаны с условием о существовании т. н. обновляющих событий. Однако в случае это условие с необходимостью выполнено. Если для таких систем в схеме серий распределения слабо сходятся соответственно к распределениям и, кроме того, то распределение будет слабо сходится к распределению

4) Асимптотич. методы исследования многоканальных систем для больших нагрузок дают результаты, аналогичные соответствующим результатам для одно-канальных систем.

Пусть в схеме серий для управляющих последовательностей . выполнено условие

(wDd равно разности между средним количеством вызовов, поступивших в систему, и средним количеством вызовов, к-рое система может обслужить за единицу времени; если то в качестве параметра б можно выбрать число имеющее тот же смысл). Тогда если

и равномерно ограничены при нек-ром e>0, то для длины q(t).очереди в момент времени tсправедливы при следующие соотношения:

при

где w(u).- стандартный винеровский процесс;

при

при

Аналогичные соотношения верны для длины q_n очереди и для времени ожидания.

Другое возможное направление асимптотич. исследований для многоканальных систем состоит в изучении систем с интенсивным входным потоком и неограниченно возрастающим (вместе с ) числом каналов обслуживания.

5) Поведение многоканальных систем с бесконечным числом каналов обслуживания, управляемых последовательностью описывается так же, как поведение многоканальных систем с очередью, с той лишь разницей, что здесь всегда есть свободные каналы и, следовательно, время ожидания для любого вызова равно 0. В качестве характеристики состояния системы рассматривают число q_n занятых линий в момент прихода n-го вызова или число q(t).занятых линий в момент времени t(как и везде выше q_n и q(t).- длины очереди и q₁=0).

Пусть и, кроме того, последовательность метрически транзитивна. Тогда если < то распределение последовательности при монотонно сходится к распределению собственной стационарной последовательности

где I{А} индикатор события А. Условие близко к необходимому условию для конечности (2).

6) Для систем, у к-рых распределение стационарной длины q^k очереди можно описать с помощью уравнений. Для этого следует ввести, величины

Число q⁰ (х).указывает, сколько вызовов осталось в системе, работающей в стационарном режиме, спустя время хпосле прихода нек-рого вызова, но без учета данного вызова и всех вызовов, поступающих после него.

Обозначив

получают

система функций P_j(x)удовлетворяет уравнениям

Здесь Р _-1 (х).следует положить, равной 0. Каждые из первых k+1 уравнений этой системы относительно имеют единственное решение в классе функций ограниченной вариации, обладающих свойствами

Аналогичные утверждения справедливы для распределения процесса q(t).

Если

то

где

a - показатель распределения

Если

то

где

a - показатель распределения Если, кроме того, - нерешетчатые случайные величины, то

7) Теоремы устойчивости в случае как и в предыдущих разделах, выясняют условия, при к-рых малое изменение управляющих последовательностей влечет за собой малое изменение стационарного распределения числа q^k занятых линий.

Для схемы серий, когда система управляется стационарными последовательностями зависящими от параметра n=1, 2, . . ., пусть выполнены следующие условия.

(А) Существует последовательность

такая, что метрически транзитивна, и конечномерные распределения сходятся при к распределениям

(В) при

(С) Распределения при всех

непрерывны в точке 0.

Теорема устойчивости утверждает тогда, что при выполнении условий (А), (В), (С) распределения последовательностей {q^(n)k} длин очередей (к-рые определяются равенством (2) с управляющими последовательностями ) сходятся при к распределениям {q^k}.

Все три условия (А), (В), (С), присутствующие в этом утверждении, существенны; отказ хотя бы от одного из них сразу позволяет строить примеры, где сходимость распределений {q^(n)k} отсутствует.

8) Асимптотич. анализ систем с бесконечным числом каналов обслуживания становится естественным и эффективным при изучении т. н. нагруженных систем, когда велика интенсивность входного потока. Несомненным преимуществом асимптотич. подхода является большая общность и универсальность установленных закономерностей.

Пусть входной поток означающий число вызовов, поступавших в систему к моменту времени t, зависит от параметра (схема серий), так что при для каждого фиксированного t>0, и, кроме того, существуют неубывающая функция m(t), функция при и непрерывный случайный процесс x(t), заданный на [0, t₀], такие, что распределения где

слабо сходятся при к распределению для любого измеримого и непрерывного относительно равномерной метрики функционала f.

Если, напр., и управление системой происходит с помощью последовательности то сформулированные условия будут выполнены при любом t₀, при этом

x(t).- стандартный винеровский процесс.

Относительно обслуживающего устройства предполагают, что Тогда:

1) Если то конечномерные распределения нормированного процесса очереди

слабо сходятся при к распределениям процесса

2) Если то конечномерные распределения процесса

слабо сходятся к конечномерным распределениям процесса

где q(t) -центрированный гауссовский процесс, не зависящий от x(t), с ковариационной функцией

Если потребовать от функций m(t).пли G(t).нек-рой гладкости, то сходимость процессов z_i(t).к процессам z_i(t), i=1, 2, будет иметь место и в более сильном смысле (напр., сходимость распределений f(z_i(t)) к при для всех функционалов, непрерывных относительно равномерной метрики).

Лит. см. при ст. Массового обслуживания теория.

А. А. Боровков.