Дисперсионный анализ

Дисперсионный анализ — метод в математической статистике, направленный на поиск зависимостей в экспериментальных данных путём исследования значимости различий в средних значениях^[1][2]. В литературе также встречается обозначение ANOVA (от англ. ANalysis Of VAriance)^[3].

Двухфакторная модель

Одной из используемых моделей данных в дисперсионном анализе является двухфакторная модель. Она состоит в учёте систематических (первый фактор) и случайных (второй фактор) ошибок в определении измеряемых параметров.

Пусть с помощью методов $M_1, ..., M_m$ производится измерение нескольких параметров, чьи точные значения — $a_{1}, ..., a_{n}$. В таком случае, результаты измерений различных величин различными методами можно представить как:

$x_{i,j} = a_{i} + b_{i,j} + d_{i,j}$,

где:

• $x_{i,j}$ — результат измерения $i$-го параметра по методу $M_{j}$;
• $a_{i}$ — точное значение $i$-го параметра;
• $b_{i,j}$ — систематическая ошибка измерения $i$-го параметра по методу $M_{j}$;
• $d_{i,j}$ — случайная ошибка измерения $i$-го параметра по методу $M_{j}$.

Тогда дисперсии случайных величин $x_{i,j}$, $x_{i,j} - x_{i,*} - x_{*,j} + x_{*,*}$, $x_{i,*}$, $x_{*,j}$ (где:

$x_{*,j} = \frac{1}{n} \sum_{i} x_{i,j},$

$x_{i,*} = \frac{1}{m} \sum_{j} x_{i,j},$

$x_{*,*} = \frac{1}{nm} \sum_{i, j} x_{i,j}$

) выражаются как:

$s^{2} = \frac{1}{nm} \sum_{i} \sum_{j} ( x_{i,j} - x_{*,*} )^{2}$

$s_{0}^2 = \frac{1}{nm} \sum_{i} \sum_{j} ( x_{i,j} - x_{i,*} - x_{*,j} + x_{*,*} )^{2}$

$s_{1}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i} ( x_{i,*} - x_{*,*} )^{2}$

$s_{2}^2 = \frac{1}{m} \sum_{j} ( x_{*,j} - x_{*,*} )^{2}$

и удовлетворяют тождеству:

$s^2 = s_{0}^2 + s_{1}^2 + s_{2}^2$

Двухфакторная схема позволяет лишь обнаружить систематические расхождения, но непригодна для их численной оценки с последующим исключением из результатов наблюдений. Эта цель может быть достигнута только при многократных измерениях (то есть при повторных использованиях указанной схемы над данными повторных экспериментов).

Примечания

1. ↑ Дисперсионный анализ. Архивировано из первоисточника 23 июля 2012.
2. ↑ Большев, Л. Н.. Дисперсионный анализ // Большая советская энциклопедия.
3. ↑ А.Д. Наследов. Математические методы психологического исследования. СПб, 2008. ISBN 5-9268-0275-7

Литература

• Шеффе Г. Дисперсионный анализ, пер. с англ. — М., 1963.
• Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений. — 2. — М., 1965.

Столбчатая диаграмма · Совмещённая диаграмма · Диаграмма управления · Лесная диаграмма · Гистограмма · Q-Q диаграмма · Диаграмма выполнения · Диаграмма разброса · Стебель-листья · Ящик с усами