Многочлены Фабера

Многочлены Фабера — обобщение многочленов Чебышева.

Определение

Пусть $K$ — ограниченный континуум — ограниченное, не пустое, связное множество, содержащее более одной точки. И $g_{\infty}$ — это та из смежных с $K$ областей, к которой принадлежит $z=\infty$. $g_{\infty}\equiv D$ — односвязная область расширенной плоскости, граница которой $\Gamma_{\infty}$ является частью континуума $K$.

Область $g_\infty$ конформно отображается на внешность круга с центром в точке $w=0$ посредством функции $w = \Phi(z)$ так, что выполняются два условия:

$\Phi(\infty)=\infty$

$\lim_{z\to\infty} \Phi(z)/z=\gamma > 0$

которыми функция $\Phi(z)$ определяется единственным образом. Из этих условий следует, что функция $w = \Phi(z)$, являясь аналитической в области $D$, кроме точки $z=\infty$, имеет в точке $z=\infty$ простой полюс, и поэтому её лорановское разложение в некоторой окрестности точки $z=\infty$ имеет вид

$\Phi(z)=\gamma z + \gamma_0+\gamma_1 /z + \gamma_2 / z^2+\ldots.$

Многочленом Фабера n-го порядка, порождённым континуумом $K$, называется многочлен

$\Phi_n(z)= \gamma^n z^n + a^{(n)}_{n-1}z^{n-1}+ a^{(n)}_{n-2}z^{n-2}+\ldots+ a^{(n)}_{1}z + a^{(n)}_0$

представляющий собой члены с неотрицательными степенями $z$ в лорановском разложении функции $\Phi(z)^n$ в окрестности бесконечно удаленной точки.

Свойства

• Многочлены Чебышева являются частным случаем многочленов Фабера при $K=[-1;1]$.

Ссылки

• Суетин П. К. Многочлены Фабера.
• Weisstein, Eric W. Faber Polynomial (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Для улучшения этой статьи желательно?: Проставить интервики в рамках проекта Интервики.