- Многочлены Чебышева
-
Многочле́ны Чебышева — две последовательности ортогональных многочленов и , названные в честь Пафнутия Львовича Чебышева.
Многочлены Чебышева играют важную роль в теории приближений, поскольку корни многочленов Чебышева первого рода используются в качестве узлов в интерполяции алгебраическими многочленами.Многочлен Чебышева первого рода характеризуется как многочлен степени со старшим коэффициентом , который меньше всего отклоняется от нуля на интервале . Впервые рассмотрены самим Чебышёвым.
Многочлен Чебышева второго рода характеризуется как многочлен степени со старшим коэффициентом , интеграл от абсолютной величины которого по интервалу принимает наименьшее возможное значение. Впервые рассмотрены в совместной работе двух учеников Чебышева — Коркина и Золотарёва.
Содержание
Рекурсивное определение
Многочлены Чебышева первого рода могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:
Многочлены Чебышева второго рода могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:
Явные формулы
Многочлены Чебышева являются решениями уравнения Пелля:
в кольце многочленов с вещественными коэффициентами и удовлетворяют тождеству:
Из последнего тождества также следуют явные формулы:
Тригонометрическое определение
Многочлены Чебышева первого рода могут быть также определены с помощью равенства:
или, что почти эквивалентно,
Многочлены Чебышева второго рода могут быть также определены с помощью равенства:
Примеры
Несколько первых многочленов Чебышева первого рода
Несколько первых многочленов Чебышева второго рода
Свойства
Многочлены Чебышева обладают следующими свойствами:
- Многочлены чётных степеней являются чётными функциями, нечётных — нечётными функциями.
- Сумма коэффициентов многочленов Чебышева первого рода равняется 1, а коэффициентов многочленов второго рода равняется .
- Ортогональность по отношению к соответствующим скалярному произведению (с весом для многочленов первого рода и для многочленов второго рода).
- Среди всех многочленов, значения которых на отрезке не превосходят по модулю 1, многочлен Чебышева имеет:
- наибольший старший коэффициент
- наибольшее значение в любой точке за пределами
- если , то , где — коэффициент многочлена Чебышева первого рода, — коэффициент любого из рассматриваемых полиномов.
- Нули полиномов Чебышева являются оптимальными узлами в различных интерполяционных схемах. Например, в методе дискретных особенностей, который часто используется при исследовании интегральных уравнений в электродинамике и аэродинамике.
- На концах и середине отрезка выполняются следующие соотношения:
- Многочлен Чебышева первого рода порядка N является частным случаем фигур Лиссажу при соотношении частот, равном N и амплитуде обоих сигналов, равной 1.
Применения
Многочлены Чебышева применяются для расчета антенной решётки. Мощность излучения каждой антенны рассчитывается при помощи многочленов Чебышева. Это позволяет управлять формой диаграммы направленности, а точнее соотношением амплитуды основного и боковых лепестков.
Вариации и обобщения
- Вопрос о многочленах минимальной нормы с фиксированными коэффициентами при двух старших степенях был рассмотрен позднее Золотарёвым, найденные им полиномы носят название многочлены Золотарёва.
- Многочлены Фабера
Литература
- Кампе де Ферье Ж., Кемпбелл Р., Петьо Г., Фогель Т. Функции математической физики. — М.: Физматлит, 1963.
Ссылки
Многочлены Чебышева на Викискладе? - Васильев Н., Зелевинский А. Многочлены Чебышева и рекуррентные соотношения // Квант. — 1982. — № 1. — С. 12-19.
Ортогональные многочлены Многочлены Бернштейна — Сеге • Многочлены Бесселя • Многочлены Гегенбауера • Многочлены Гейне — Ахиезера • Многочлены Кравчука • Многочлены Лягерра • Многочлены Лежандра • Многочлены Полачека • Многочлены Чебышева • Многочлены Шарле • Многочлены Эрмита • Многочлены Якоби Категории:- Вычислительная математика
- Ортогональные многочлены
- Теория приближений
Wikimedia Foundation. 2010.