Электрический импеданс

Электрический импеданс
 Просмотр этого шаблона  Классическая электродинамика
VFPt Solenoid correct2.svg
Электричество · Магнетизм
См. также: Портал:Физика

Электри́ческий импеда́нс (комплексное сопротивление, полное сопротивление) — комплексное сопротивление двухполюсника для гармонического сигнала. Это понятие ввёл физик и математик О. Хевисайд в 1886 году.[1][2]

Содержание

Аналогия с сопротивлением

В отличие от резистора, электрическое сопротивление которого характеризует соотношение напряжения к току на нём, попытка применения термина электрическое сопротивление к реактивным элементам (катушка индуктивности и конденсатор) приводит к тому, что сопротивление идеальной катушки индуктивности стремится к нулю, а сопротивление идеального конденсатора — к бесконечности.

Сопротивление правильно описывает свойства катушки и конденсатора только на постоянном токе. В случае же переменного тока свойства реактивных элементов существенно иные: напряжение на катушке индуктивности и ток через конденсатор не равны нулю. Такое поведение сопротивлением уже не описывается, поскольку сопротивление предполагает постоянное, не зависящее от времени соотношение тока и напряжения, то есть отсутствие фазовых сдвигов тока и напряжения.

Было бы удобно иметь некоторую характеристику и для реактивных элементов, которая бы при любых условиях связывала ток и напряжение на них подобно сопротивлению. Такую характеристику можно ввести, если рассмотреть свойства реактивных элементов при гармонических воздействиях на них. В этом случае ток и напряжение оказываются связаны некоей стабильной константой (подобной в некотором смысле сопротивлению), которая и получила название электрический импеданс (или просто импеданс). При рассмотрении импеданса используется комплексное представление гармонических сигналов, поскольку именно оно позволяет одновременно учитывать и амплитудные, и фазовые характеристики сигналов и систем.

Определение

Импедансом \hat z(j \omega)\; называется отношение комплексной амплитуды напряжения гармонического сигнала, прикладываемого к двухполюснику, к комплексной амплитуде тока, протекающего через двухполюсник. При этом импеданс не должен зависеть от времени: если время t в выражении для импеданса не сокращается, значит, для данного двухполюсника понятие импеданса неприменимо.


     \hat z(j \omega)\;=
     \frac{\hat u(j \omega, t)\;}{\hat i(j \omega, t)\;} =
     \frac{U(\omega) e^{j(\omega t + \phi_u(\omega))}}{I(\omega) e^{j(\omega t + \phi_i(\omega))}} =
     \frac {U(\omega) e^{j\phi_u(\omega)}}{I(\omega) e^{j\phi_i(\omega)}} = 
     \frac{\hat U(j\omega)\;}{\hat I(j\omega)\;}
   (1)

Здесь

  • jмнимая единица;
  • \omega — циклическая частота;
  • U(\omega), I(\omega) — амплитуды напряжения и тока гармонического сигнала на частоте \omega;
  • \phi_u(\omega), \phi_i(\omega) — фазы напряжения и тока гармонического сигнала на частоте \omega;
  • \hat U(j\omega)\;, \hat I(j\omega)\; — Комплексные амплитуды напряжения и тока гармонического сигнала на частоте \omega;

Исторически сложилось, что обозначение импеданса, комплексных амплитуд и других комплекснозначных функций частоты записывают как f (j\omega), а не f (\omega). Такое обозначение показывает, что мы имеем дело с комплексными представлениями гармонических функций вида e^{j \omega t}. Кроме того, над символом, обозначающим комплексный сигнал или комплексный импеданс, обычно ставят «домик» или точку:  \dot{U}(j\omega)\; чтобы отличать от соответствующих действительных (некомплексных) величин.

Физический смысл

Навстречу нарастающему току генератора, идет ток самоиндукции катушки. Вот это противодействие тока самоиндукции катушки нарастающему току генератора, и называется индуктивным сопротивлением.На преодоление этого противодействия затрачивается часть энергии переменного тока генератора. Вся эта часть энергии полностью превращается в энергию магнитного поля катушки. Когда ток генератора будет убывать, магнитное поле катушки, также, будет убывать, пресекая катушку и индуктируя в цепи ток самоиндукции. Теперь ток самоиндукции будет идти в одном направлении с убывающим током генератора. Таким образом вся энергия затраченная током генератора на преодоление противодействия тока самоиндукции катушки полностью вернулась в цепь в виде энергии электрического тока. Поэтому индуктивное сопротивление является реактивным, т. е. не вызывающим безвозвратных потерь энергии.

Алгебраическая форма

Если рассматривать комплексный импеданс как комплексное число в алгебраической форме, то действительная часть соответствует активному сопротивлению, а мнимаяреактивному. То есть двухполюсник с импедансом \hat z(j \omega)\; можно рассматривать как последовательно соединенные резистор с сопротивлением \Re(\hat z(j \omega)) и чисто реактивный элемент с импедансом \Im(\hat z(j \omega))

Рассмотрение действительной части полезно при расчёте мощности, выделяемой в двухполюснике, поскольку мощность выделяется только на активном сопротивлении.

Тригонометрическая форма

Если рассматривать импеданс как комплексное число в тригонометрической форме, то модуль соответствует отношению амплитуд напряжения и тока (сдвиг фаз не учитывается), а аргумент — сдвигу фазы между током и напряжением, то есть на сколько ток отстаёт от напряжения.

Ограничения

Понятие импеданса применимо, если при приложении к двухполюснику гармонического напряжения, ток, вызванный этим напряжением, также гармонический той же частоты. Для этого необходимо и достаточно, чтобы двухполюсник был линейным и его свойства не менялись со временем. Если это условие не выполнено, то импеданс не может быть найден по следующей причине: невозможно получить выражение для импеданса, не зависящее от времени t, поскольку при вычислении импеданса множитель e^{j \omega t} в (1) не сокращается.

  • Однако и для линейных двухполюсников (для которых зависимость от времени сокращается) импеданс всё же зависит от частоты (за исключением случая когда двухполюсник сводится к схеме из одних резисторов и импеданс оказывается действительной величиной).

Практически это означает, что импеданс может быть вычислен для любого двухполюсника, состоящего из резисторов, катушек индуктивности и конденсаторов, то есть из линейных пассивных элементов. Также импеданс хорошо применим для активных цепей, линейных в широком диапазоне входных сигналов (например, цепи на основе операционных усилителей). Для цепей, импеданс которых не может быть найден в силу указанного выше ограничения, бывает полезным найти импеданс в малосигнальном приближении для конкретной рабочей точки. Для этого необходимо перейти к эквивалентной схеме и искать импеданс для нее.

Вычисление импеданса

Идеальные элементы

Резистор

Для резистора импеданс всегда равен его сопротивлению R и не зависит от частоты:

 z_R = R (2)

Конденсатор

Ток и напряжение для конденсатора связаны соотношением:

 i(t)=C \frac {dU}{dt} (3)

Отсюда следует, что при напряжении

 \hat u(j \omega, t)\;= U(\omega) e^{j(\omega t + \phi_u(\omega))} (4)

ток, текущий через конденсатор, будет равен:


     \hat i(j \omega, t)\;= C \frac {d}{dt} \left( U(\omega) e^{j(\omega t + \phi_u(\omega))} \right) =
     j \omega C U(\omega) e^{j(\omega t + \phi_u(\omega))}
   (5)

После подстановки (4) и (5) в (1) получаем:

 \hat z_C(j \omega)\;= \frac {1}{j \omega C} (6)

Катушка индуктивности

Аналогичное рассмотрение для катушки индуктивности приводит к результату:

 \hat z_L(j \omega)\;= j \omega L (7)

Общий случай

Для произвольного двухполюсника, состоящего из элементов с известным импедансом, нет необходимости производить приведенные выше вычисления с целью нахождения импеданса. Импеданс находится по обычным правилам расчёта сопротивления сложной цепи, то есть используются формулы для сопротивления при параллельном и последовательном соединении резисторов. При этом все математические операции производятся по правилам действий над комплексными числами. Например, импеданс последовательно соединенных резистора, конденсатора и катушки индуктивности будет равен:

 \hat z(j \omega)\;= R + \frac {1}{j \omega C} + j \omega L (8)

Экспериментальное измерение импеданса

Импеданс реальных элементов может быть измерен специальными приборами: измерителем RLC или анализатором импеданса. Эти приборы позволяют производить измерения в широком диапазоне частот и при различных напряжениях смещения.

Применение импеданса

Введение импеданса позволяет описывать поведение двухполюсника с реактивными свойствами при воздействии на него гармонического сигнала. Кроме того, в случае негармонического сигнала импеданс применяется столь же успешно. Для этого сигнал раскладывается на спектральные компоненты при помощи ряда Фурье или преобразования Фурье и рассматривается воздействие каждой спектральной компоненты. Вследствие линейности двухполюсника сумма откликов на спектральные компоненты равна отклику на исходный негармонический сигнал.

См. также

Примечания

  1. Science, p. 18, 1888
  2. Oliver Heaviside. The Electrician. P. 212; 23 July 1886 reprinted as Electrical Papers, p64, AMS Bookstore, ISBN 0-8218-3465-7

Литература

  • Л. А. Бессонов. Теоретические основы электротехники. — 9-е изд. — М.: Высшая школа, 1996.
  • Графов Б.М., Укше Е.А. Электрохимические цепи переменного тока. — М.: Наука, 1983.

Wikimedia Foundation. 2010.

Нужно решить контрольную?

Полезное


Смотреть что такое "Электрический импеданс" в других словарях:

  • Электрический заряд — q, Q Размерность T I …   Википедия

  • Импеданс — Классическая электродинамика Магнитное поле соленоида Электричество · Магнетизм Электростатика Закон Кулона …   Википедия

  • Электрический дипольный момент —     Классическая электродинамика …   Википедия

  • Электрический диполь — Классическая электродинамика Магнитное поле соленоида Электричество · Магнетизм Электростатика Закон Кулона …   Википедия

  • Электрический конденсатор — У этого термина существуют и другие значения, см. Конденсатор (значения). См. также: варикап Основа конструкции конденсатора две токопроводящие обкладки, между которыми находится диэлектрик …   Википедия

  • электрический передаточный импеданс — электрический передаточный импеданс: Для системы, состоящей из двух акустически связанных микрофонов, это отношение напряжения холостого хода микрофона приемника к входному току микрофона излучателя, ом (Ом). Примечание Этот импеданс определяют… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • ИМПЕДАНС — электрический (устар.) то же, что полное сопротивление …   Большой Энциклопедический словарь

  • ИМПЕДАНС — электрический (устар.), то же, что полное сопротивление …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • электрический — 3.45 электрический [электронный, программируемый электронный]; Е/Е/РЕ (electrical/electronic/ programmable electronic; Е/Е/РЕ) основанный на электрической и/или электронной, и/или программируемой электронной технологии. Источник …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • импеданс — электрический (устар.), то же, что полное сопротивление. * * * ИМПЕДАНС ИМПЕДАНС электрический (устар.), то же, что полное сопротивление (см. ПОЛНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ) …   Энциклопедический словарь


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»