Объем (геометрия)

Объем (геометрия)

Объём — это аддитивная функция от множества (мера), характеризующая вместимость области пространства, которую оно занимает. Изначально возникло и применялось без строгого определения в отношении трёхмерных тел трёхмерного евклидова пространства. Первые точные определения были даны Пеано (1887) и Жордан (1892). Впоследствии понятие было обобщено Лебегом на более широкий класс множеств.

Содержание

Подходы к определению

Для определения объёма существует несколько существенно различных подходов, которые дополняют друг друга и согласованы по конечному результату на «хороших множествах». Обычно под понятием объёма понимается мера Жордана, но иногда мера Лебега. Для римановых многобразий, понятие объёма вводится аналогично понятию площади поверхности.

Понятие объёма допускает естественное обобщения до понятия n-мерного объёма в n-мерном пространстве, также на случай римановых и псевдоримановых пространств произвольной размерности.

Объёмы простейших тел

Фигура Формула Обозначения
Куб c3 c — ребро куба
Призма Sa S — площадь перпендикулярного сечения, a — ребро призмы
Цилиндр πr2h r — радиус, h — высота цилиндра
Шар \frac{4}{3}\pi r^3 r — радиус
Эллипсоид \frac{4}{3}\pi abc a,\;b,\;c — главные оси
Пирамида \frac{1}{3}Ah A — площадь основания, h — высота пирамиды
Конус \frac{1}{3}\pi r^2h r — радиус основания, h — высота конуса

Объёмы цилиндра, вписанной в него сферы, касающейся его основания, и двух конусов, имеющих общую вершину в центре основания и основания, равные основаниям цилиндра находятся в соотношении 1:2:3. Изображение вписанной в цилиндр сферы украшает могилу первооткрывателя этой истины - Архимеда (как он и просил сделать). [1]

Литература

  • Воднев В.Т., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф., Основные математические формулы. Справочник/Под ред. Богданова Ю. С. Изд. второе, перераб. и доп. Минск, "Вышэйшая школа", 1988
  • Цыпкин А.Г. Справочник по математике для средних учебных заведений. - 4-е изд., испр. и доп.-М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. - 432 с.

Примечания

  1. ↑ [100 человек, которые изменили ход истории. Еженедельное издание. Архимед (Выпуск № 12, 2008). Блестящий ум]

См. также

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Полезное


Смотреть что такое "Объем (геометрия)" в других словарях:

  • ГЕОМЕТРИЯ — раздел математики, занимающийся изучением свойств различных фигур (точек, линий, углов, двумерных и трехмерных объектов), их размеров и взаимного расположения. Для удобства преподавания геометрию подразделяют на планиметрию и стереометрию. В… …   Энциклопедия Кольера

  • ГЕОМЕТРИЯ ЧИСЕЛ — геометрическая теория чисел, раздел теории чисел, изучающий теоретико числовые проблемы с применением геометрич. методов. Г. ч. в собственном смысле сформировалась с выходом основополагающей монографии Г. Минков ского [1] в 1896. Исходным пунктом …   Математическая энциклопедия

  • Геометрия — (γήμετρώ земля, μετρώ мерю). Понятия о пространстве, положении и форме принадлежат к числу первоначальных, с которыми человек был знаком уже в глубокой древности. Первые шаги в Г. были сделаны египтянами и халдеями. В Греции Г. была введена… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • ОБЪЕМ — трехмерного тела числовая характеристика тела, равная в простейшем случае, когда тело можно разбить на конечное множество единичных кубов (т. е. кубов с ребрами длины единица), числу этих кубов. О. трехмерных тел (т. е. множеств трехмерного… …   Математическая энциклопедия

  • МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ — геометрия пространств размерности, большей трех; термин применяется к тем пространствам, геометрия к рых была первоначально развита для случая трех измерений и только потом обобщена на число измерений n>3, прежде всего евклидово пространство,… …   Математическая энциклопедия

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МНОГООБРАЗИЙ — раздел дифференциальной геометрии, изучающий различные инфинитезималъные структуры на многообразии и их связи со структурой многообразия и его топологией. К середине 19 в. в результате возникновения неевклидовой геометрии Лобачевского,… …   Математическая энциклопедия

  • РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ В ЦЕЛОМ — раздел римановой геометрии, изучающий связи между локальными и глобальными характеристиками римановых многообразий (р. м.). Термин Р. г. в ц. обычно относят к определенному кругу проблем и методов, характерных для геометрии в целом. Основное… …   Математическая энциклопедия

  • ИНТЕГРАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ — теория инвариантных (относительно непрерывных групп отображений пространства на себя) мер на множествах, состоящих из подмногообразий пространства (напр., прямых, плоскостей, геодезических, выпуклых поверхностей и т. п. многообразий, сохраняющих… …   Математическая энциклопедия

  • РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ — теория риманова пространства. Р и м а н о в ы м п р о с т р а н с т в о м наз. n мерное связное дифференцируемое многообразие М п, на к ром задано дифференцируемое поле ковариантного, симметрического и положительно определенного тензора gранга 2 …   Математическая энциклопедия

  • ПОГРУЖЕННЫХ МНОГООБРАЗИЙ ГЕОМЕТРИЯ — теория, изучающая внешнюю геометрию и связь между внешней и внутренней . геометрией подмногообразий евклидова или риманова пространства. П. м. г. является обобщением классич. дифференциальной геометрии поверхностей в евклидовом пространстве .… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»