- Мультииндекс
-
Мультииндекс (или мульти-индекс) — это обобщение понятия целочисленного индекса до векторного индекса, которое нашло применение в различных областях математики, связанных с функциями многих переменных. Использование мультииндекса помогает упростить (записать более кратко) математические формулы.
Содержание
Математическая запись мультииндекса
n-мерный мультииндекс — это вектор
составленный из неотрицательных чисел. Для двух мультииндексов
и вектора
вводятся:
- Покомпонентное сложение и вычитание
- Абсолютное значение как сумма компонентов
- Старшая частная производная
-
где
Некоторые приложения
Использование мультииндекса позволяет без проблем расширить многие формулы классического анализа на многомерный случай. Вот некоторые примеры:
Мультиномиальные коэффициенты
Имеется в виду обобщение формулы Бернулли на многомерный случай:
Формула Лейбница
Для гладких функций f и g
Разложение в ряд Тейлора
Для аналитической функции f от n переменных справедливо разложение
Фактически, для достаточно гладких функций выполняется конечная формула Тейлора
где последний член (остаток) может быть записан в различных формах. Например, в (интегральной) форме Коши получим
Оператор дифференцирования
Формальный оператор взятия частной производной N-того порядка в n-мерном пространстве записывается следующим образом:
Интегрирование по частям
Для достаточно гладких финитных функций в ограниченной области
имеем:
Эта формула используется в определении обобщённых функций и слабых производных.
Пример использования в теореме
Если
— это мультииндексы и
, то
Доказательство
Доказательство опирается на правило взятия обыкновенной производной от степенной функции:
Положим
,
и
. Тогда
Здесь каждое дифференцирование
сводится к соответствующей обыкновенной производной
, так как для каждого i из {1, . . ., n}, функция
зависит только от
. Поэтому из уравнения (1) следует, что
исчезает как только αi > βi для хотя бы одного i из {1, . . ., n}.В противном случае (когда α ≤ β) получаем
для каждого
.
Ссылки
- Saint Raymond, Xavier (1991). Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators. Chap 1.1 . CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9
Эта статья использует материалы со страницы multi-index derivative of a power на PlanetMath, которая имеет лицензию CC-BY-SA.
Категории:- Комбинаторика
- Математические обозначения
Wikimedia Foundation. 2010.