Формула Лейбница

У этого термина существуют и другие значения, см. Список объектов, названных в честь Лейбница.

У этого термина существуют и другие значения, см. Формула Лейбница (значения).

Формулой Лейбница в интегральном исчислении называется правило дифференцирования под знаком интеграла, зависящего от параметра, пределы которого зависят от переменной дифференцирования. Формула названа в честь немецкого математика Готфрида Лейбница.

Формулировка

Пусть функция $f(x,\;y)$ непрерывна вместе со своей первой производной ${\partial f(x,\;y) \over \partial y}$ на прямоугольнике $[\alpha,\;\beta] \times [c,\;d]$ (отрезок $[\alpha,\;\beta]$ включает в себя множества значений $a(y),\;b(y)\$), a функции $a(y),\;b(y)$ дифференцируемы на $[c,\;d]$. Тогда интеграл $I(y) = \int\limits_{a(y)}^{b(y)} f(x,\;y) \,dx$ дифференцируем по $y$ на $[c,\;d]$ и справедливо равенство

$I'(y) = \int\limits_{a(y)}^{b(y)} {\partial \over \partial y} f(x,\;y) \,dx + f(b(y),\;y) {b'(y)} - f(a(y),\;y) {a'(y)}.$

Случай постоянного предела интегрирования

Если предел интегрирования — определенное число $k$, подставляя его в производную, получим, что одно из неинтегральных слагаемых обращается в нуль, так как содержит умножение на производную постоянного числа, то есть умножение на 0. Например, для постоянного верхнего предела имеем:

$I'(y) = \int\limits_{a(y)}^k {\partial \over \partial y} f(x,\;y) \,dx - f(a(y),\;y) {a'(y)}.$

Основная теорема анализа Править

Необходимо перенести в эту статью содержимое статьи Теорема Ньютона-Лейбница и поставить перенаправление.

Рассмотрим интеграл от функции y = f(x) в пределах от постоянного числа a до числа x, которое будем считать переменным. Запишем интеграл в следующем виде: F(x)=\int_a^x f(u)du (1)

Основная теорема анализа гласит, что

Производная неопределенного интеграла (1) по его верхнему пределу x равна значению функции f(u) в точке u = x: F'(x) = f(x).

Другими словами, процесс интегрирования, ведущий от функции f(x) к функции F(x), «уничтожается» обратным ему процессом дифференцирования, применяемым к функции F(x).

Эта же теорема может быть сформулирована и иным образом:

Функция F(x), являющаяся интегралом от функции f(x) при постоянном нижнем и переменном верхнем пределе x, есть одна из первообразных функций от функции f(x).

Здесь под первообразными функциями от функции f(x) понимаются такие функции G(x), для которых G'(x) = f(x).

Литература

• Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. Ч.1. — 2-е изд., перераб. — М.: Изд-во МГУ, 1985. — 662 с.