- ВЫРОЖДЕННОЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
- дифференциальное уравнение с частными производными
где действительная функция
удовлетворяет условиям:
для всех действительных
и существует
, при к-ром в соотношении (2) достигается равенство. Здесь: хесть n-мерный вектор
;
-искомая функция,
- мультииндекс
- вектор с компонентами
причем в уравнение (1) входят производные порядка не выше
- компоненты вектора
есть n-мерный вектор
Если в соотношении (2) для к.-л. х и Du идля всех действительных
выполняется строгое неравенство, то уравнение (1) в точке
является эллиптическим. Уравнение (1) вырождается в тех точках
, где соотношение (2) обращается в равенство для к.-л. действительного
. Если равенство достигается лишь на границе рассматриваемой области, то уравнение наз. вырождающимся на границе области. Наиболее исследованы линейные В. э. у. 2-го порядка
где матрица
неотрицательно определенная для всех рассматриваемых значений х.
См. также ст. Вырожденное уравнение с частными производными н лит. при ней. А. М. Ильин.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.