БОРЕЛЕВСКАЯ ФУНКЦИЯ

В- функция,- функция, для к-рой все подмножества вида ) из области ее определения являются борелевскими множествами. Другие назв. Б. ф.: функции, измеримые по Борелю, В- измеримые функции. Операции сложения, умножения и предельного перехода, как и в общем случае измеримых функций, не выводят из класса Б. ф., но из класса Б. ф., в отличие от общего случая, не выводит и взятие суперпозиции двух Б. ф. Более того (см. [1]), если - измеримая функция на любом пространстве , a gесть Б. ф. на пространстве действительных чисел, то функция измерима на пространстве Всякая Б. ф. измерима по Лебегу (см. Измеримая функция). Обратное неверно. Однако для любой измеримой по Лебегу функции f найдется такая Б. ф. g, что почти всюду (см. [1]). Б. ф. наз. также иногда бэровскими функциями, ибо множество всех Б. ф. совпадает с множеством функций, принадлежащих Бэра классам (теорема Лебега, см. [2]). Б. ф. могут быть классифицированы по порядкам боре-левских множеств ; полученные классы будут соответствовать классам Бэра.

Понятие Б. ф. обобщается на функции со значениями в любом метрич. пространстве (см. [3]). В этом случае говорят также о B-измеримых отображениях. Б. ф., помимо теории множеств и теории функций, находят применение в теории вероятностей (см. [1], [4]).

Лит.:[1] X а лмош П., Теория меры, пер. с англ., М., 1953; [2]Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М.- Л., 1937; [3] Куратовский К., Топология, т. 1, М., 1966; [4] Колмогоров А. Н., Основные понятия теории вероятностей, 2 изд.,М., 1974. В. А. Скворцов.