Эволюта и эвольвента

Эвольвента (от лат. evolvens — разворачивающий) плоской линии L — это линия L _* , по отношению к которой L является эволютой. Иными словами, это кривая, нормаль в каждой точке которой является касательной к исходной кривой.

Если линия L задана уравнением $\bar{r} = \bar{r}(s)$ (s — натуральный параметр), то уравнение свойства её эвольвенты имеет вид

$\bar{\psi} = \bar{r} + (\alpha - s)\dot{\bar{r}}$,

где α — произвольный параметр.

Для параметрически заданной кривой уравнение эвольвенты

$X=x-\frac{x'\int\limits_a^t \sqrt { x'^2 + y'^2 }\, dt}{\sqrt { x'^2 + y'^2 }}$

$Y=y-\frac{y'\int\limits_a^t \sqrt { x'^2 + y'^2 }\, dt}{\sqrt { x'^2 + y'^2 }}$

Пример

Эвольвентой окружности является спиралевидная кривая. Её уравнения имеют следующий вид:

x = r(cos(t) + tsin(t))

y = r(sin(t) − tcos(t))

где t — угол, a r — радиус

Применения

• В технике эвольвенту окружности используют как профиль зуба для колёс зубчатой передачи.

См. также

• Эволюта
• Эвольвентное зацепление
• Параллельная кривая
• Каустика